Unstetige Funktion in R mit Stetigkeit in Z

Question

ich suche eine Funktion

ƒ : ℝ→ℝ die NUR an den stellen x₀ ∈ ℤ stetig ist.

Leider habe ich absolut keinen Ansatz mehr dazu, da nach meinem Verständnis Stetigkeit in ℤ auch bedeutet, dass auch ℤ + ε mit ε > 0 ein stetiger Punkt ist, nach Epsilon-Delta-Kriterium und Lipschitz-Stetigkeit, und mit Folgenkriterium sehe ich ebenfalls keine Möglichkeit, da eine Folge (a_n ) mit lim (a_n) → x₀  mit dem Epsilon-Delta-Kriterium auch stetige Abschnitte in ℝ zur Folge hätte. Wo liegt mein Denkfehler?

Schonmal danke im voraus für jede hilfe ;)

Answer 1

klassisches Beispiel für überall unstetig ist ja sowas wie

f(x) = 0 für x∈Q   f(x)=1 sonst.

Damit das in den Stellen aus Z stetig wird, müssen die 1en sozusagen

in der Nähe der ganzzahligen Werte zur 0 runtergezogen werden.

Dazu könnte man bei den irrationalen Werten

den Teil hinter dem Komma betrachten, der

schwankt ja zwischen 0 und 1 und damit der  in der Mitte zwischen zwei

ganzen Zahlen am größten ist, ziehen wir davon 0,5 ab

(Das schwankt dann zwischen -0,5 und +0,5 ,

nehmen davon den Betrag  und ziehen dann 0,5 ab.

Das gibt n der Nähe der ganzzahligen Stellen etwas

bei 0 und zwischen den ganzzahligen Stellen jedenfalls was

zwischen 0 und -0,5 .

Formal sieht das wohl so aus:

f(x)  =  0   für x ∈ ℚ

und für x ∈ℝ\ℚ  :  f(x) = | (x-[x]) -0,5 |  - 0,5

Das sieht für x ∈ℝ\ℚ so aus ~plot~ abs(x-floor(x)-0.5)-0.5 ~plot~

Comments

Sieht aber ziemlich stetig aus.

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Ist diese Funktion nicht auch in ℝ Stetig, da ℚ Dicht in ℝ liegt, gibt es doch ein ε>0 für das ein q ∈ℚ und ein r ∈ℝ mit:

|r-q| < ε

also ist die funktion stetig für einige elemente in ℝ nach Epsilon-Delta oder nicht?

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Für  x ∈ ℚ  soll ja f(x) = 0 gelten.

Wenn du also ein x zwischen zwei ganzen Zahlen hast,

gibt es in dessen Umgebung sowohl

rationale als auch irrationale x-Werte.

Also sind dort manche Funktionswerte 0 und

andere liegen auf dieser Sägezahnkurve.

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Ach stimmt, es muss ja für alle Zahlen im Bereich gelten. Danke ;) Da stand ich wohl ein wenig auf dem Schlauch.