Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass pro Tag mehr als 20 Störungen auftreten?

Question

Aufgabe:

In einem großen Netzwerk treten pro Tag im Durchschnitt 16 Störungen auf. Man kann annehmen, dass die Anzahl der Störungen poissonverteilt ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass pro Tag mehr als 20 Störungen auftreten?

Einem Hersteller ist bekannt, dass \( 3 \% \) der produzierten Halbleiter die Endkontrolle nicht bestehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 1000 Chips mindestens 25 fehlerhaft sind?

Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir erklären wie man die erste Aufgabe berechnet? Und in meinen Lösungen steht, dass beide Aufgaben durch eine Annäherung der Normalverteilung gelöst wurden aber die 2 Aufgabe habe ich mit der Binomialverteilung gelöst.(1-P(X<=24) Wie genau müsste ich das mit der Normalverteilung berechnen und gibt es dafür einen sinnvollen Grund?

Answer 1

In einem großen Netzwerk treten pro Tag im Durchschnitt 16 Störungen auf. Man kann annehmen, dass die Anzahl der Störungen poissonverteilt ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass pro Tag mehr als 20 Störungen auftreten?

Rechnung über die Poissonverteilung

P(X > 20) = 1 - P(X ≤ 20) = 1 - ∑ (x = 0 bis 20) (e^(-16)·16^x/x!) = 0.1318

Einem Hersteller ist bekannt, dass 3% der produzierten Halbleiter die Endkontrolle nicht bestehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 1000 Chips mindestens 25 fehlerhaft sind?

Binomialverteilung

P(X ≥ 25) = 1 - P(X ≤ 24) = 1 - ∑ (x = 0 bis 24) ((1000 über x)·0.03^x·0.97^(1000 - x)) = 0.8466

Näherung über die Normalverteilung

μ = n·p = 1000·0.03 = 30
σ^2 = n·p·q = 1000·0.03·0.97 = 29.1

P(X ≥ 25) = 1 - P(X ≤ 24) = 1 - Φ((24.5 - 30)/√29.1) = 0.8460

Die Rechnung wäre hier ohne einen Standard-Taschenrechner, der die Binomialverteilung integriert hat sehr aufwändig zu rechnen. Mit der Normalverteilung ist das recht einfach solange man noch eine Tabelle der Normalverteilung parat hat.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort. Könntest du mir noch erklären warum du bei der zweiten Aufgabe 24,5 schreibst und nicht 24?

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Das ist die stetige Ergänzung bei der Benutzung der Normalverteilung. Dazu solltest du auch in deinem Skript bzw. Lehrbuch etwas finden.