Die Differentialgleichung muss hier nicht gelöst werden. Die "Geschwindigkeiten" \(x'(t)\) hängen nur vom Ort und nicht der Zeit \(t\) ab. (So etwas nennt man auch eine autonome Differentialgleichung.)
Die Ruhelagen solcher DGL (oft auch "stationäre Punkte" genannt) sind die Orte, an denen \(x'(t) = 0\) ist.
Du löst also
$$x^2-2x-3 = 0 \Rightarrow \boxed{x=-1,\; x=3}$$
Das sind die (zeitunabhängigen) Ruhelagen.