Anfangswertproblem - Inhomogener Teil

Question

Gegeben ist dieses Anfangswertproblem :

\( x^{\prime}(t)=\frac{3 t-9}{t^{2}-5 t+4} x(t)+t-1, \quad x(0)=0 \).

Den homogenen Teil konnte ich mittels Partialbruchzerlegung ausrechnen:

x(t)=3t-6+C

Leider komme ich beim inhomogenen Teil nicht weiter und würde um Hilfe bitten.

Danke

Answer 1

Hallo,

ich habe für den homogenen Teil erhalten:

\( x(t)=C_{1}(t-4)(t-1)^{2} \)

\( x(h)=C_{1}(t-4)(t-1)^{2} \)

Für die part. Lösung setze:

C1=C(t)

\( x(p)=C (t)(t-4)(t-1)^{2} \)

xp'= ...

x p' und xp in die DGL einsetzen

usw.

Comments

Danke dir.

Ich habe durch Umstellen :

1/x = (3t-9)/(t^2-5t+4)

Wenn ich jetzt beide Seiten integriere erhalte ich auf der linken Seite ln(x) und auf der rechten müsste ich die Partialbruchzerlegung anwenden.

Dabei komme ich auf das von mir genannte Ergebnis x(t)=3t-6+C.

Meine Rechnung :

Nullstellen des Nenners : 1 und 4

--> (3t-9)/(t^2-5t+4) = A/(t-1) + B/(t-4)

Wenn ich jetzt den Hauptnenner berechne und danach A und B mittels Koeffizientenvergleich finde, lande ich bei A=2 und B= 1.

Am Ende bekomme ich durch die Partialbruchzerlegung das Integral

∫2/(t-1)+1/(t-4)

Ausgerechnet komme ich auch 2ln(t-1)+ln(t-4)+c

Am Ende kommt raus :

ln(x)=2ln(t-1)+ln(t-4)+c

Da komme ich, wenn ich nach x umstelle, auf das von mir genannte Ergebnis x=3t-6+c

Wüsstest du, wo da mein Fehler liegt ?

---

habe meine Rechnung ergänzt , siehe oben.

---

Danke dir. Es lag wohl am letzten Schritt:

ln(x)=2ln(t-1)+ln(t-4)+c

Ich habe die 2 nicht in die Potenz inkludiert.

Mein Weg war :

ln(x)=2ln(t-1)+ln(t-4)+c | exp

x=2(t-1)+(t-4)+c

---

Danke dir für die Hilfe.