Berechnen der Gradienten

Question

Seien f:R  → R und g : R^2 → R definiert durch f(z) := z^2 + z und g(x,y) := x cos (xy) für alle x,y,z ∈ ℝ .

i) Berechnen Sie die Gradienten von f und g.

ii) Verwenden Sie die Kettenregel, um den Gradienten von f ◦ g zu bestimmen.
Uberprüfen Sie ihr Ergebnis, indem Sie den Gradienten von f ◦ g direkt berechnen.

Comments

Wo Ligen denn deine Schwierigkeiten? partielle Ableitungen? Kettenregel? oder was?

lul

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir betrachten die beiden Funktionen:$$\red{f(z)=z^2+z}\quad;\quad \green{g(x;y)=x\cos(xy)}$$

zu i) Bestimmung der Gradienten$$\operatorname{grad}\red{f(z)}=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial z}\end{pmatrix}=\red{\begin{pmatrix}2z+1\end{pmatrix}}$$$$\operatorname{grad}\green{g(x;y)}=\begin{pmatrix}\frac{\partial g}{\partial x}\\[1ex]\frac{\partial g}{\partial y}\end{pmatrix}=\green{\begin{pmatrix}\cos(xy)-xy\sin(xy)\\-x^2\sin(xy)\end{pmatrix}}$$

zu ii) Bestimmung des Gradienten verknüpften Funktionen

Den Gradienten schreibt man gerne als Zeilenvektor, obwohl er streng genommen ein Spaltenvektor ist. Zur Anwendung der Kettenregel müssen wir streng sein und den Gradienten als Spaltenvektor schreiben, damit die Matrix-Multiplikation überhaupt definiert bzw. durchführbar ist.$$\operatorname{grad}(\red f\circ\green g)=\operatorname{grad}(\red {f(}\green{g(x;y)}\red))\cdot\operatorname{grad}(\green{g(x;y)})$$$$\phantom{\operatorname{grad}(f\circ g)}=\left[\begin{pmatrix}\red{2z+1}\end{pmatrix}\right]_{\red z=\green{g(x;y)}}\cdot\green{\begin{pmatrix}\cos(xy)-xy\sin(xy) & -x^2\sin(xy)\end{pmatrix}}$$$$\phantom{\operatorname{grad}(f\circ g)}=\left(\red2\green{x\cos(xy)}\red{+1}\right)\cdot\green{\begin{pmatrix}\cos(xy)-xy\sin(xy) & -x^2\sin(xy)\end{pmatrix}}$$Die Matrix-Multiplikation einer 1x1-Matrix mit einer 1x2-Matrix ist definiert. Der Übersicht halber schreibe ich das Ergebnis als transponierte Matrix:$$\phantom{\operatorname{grad}(f\circ g)}=\begin{pmatrix}\left(\red2\green{x\cos(xy)}\red{+1}\right)\cdot(\green{\cos(xy)-xy\sin(xy)})\\[1ex]\green-\left(\red2\green{x\cos(xy)}\red{+1}\right)\cdot\green{x^2\sin(xy)}\end{pmatrix}^T$$

Zur direkten Berechnung des Gradienten setzen wir \(\red z=\green{g(x;y)}\) in \(\red{f(z)}\) ein. Um uns später die Rechnung zu vereinfachen, formen wir \(\red{f(z)}\) vorher jedoch etwas um:$$\red{f(z)}=z^2+z=\left(z^2+z+\frac14\right)-\frac14=\red{\left(z+\frac12\right)^2-\frac14}$$Nun setzen wir ein:$$\red{f(}\green{g(x;y)}\red)=\red{\left(\green{x\cos(xy)}+\frac12\right)^2-\frac14}$$und können die partiellen Abbildungen nun bequem bilden:$$\frac{\partial f}{\partial x}=2\left(x\cos(xy)+\frac12\right)\cdot\left(\cos(xy)-xy\sin(xy)\right)$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=2\left(x\cos(xy)+\frac12\right)\cdot\left(-x^2\sin(xy)\right)$$Wir erhalten offensichtlich dasselbe Ergebnis wie bei der Anwendung der mehrdimensionalen Kettenregel.

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Da werf ich mal ein (+1) für Effort drauf. :-D

Answer 2

Hallo Andi1, kein Problem. Um den Gradienten von f(z) zu berechnen, leitest du f(z) nach z ab. Weißt du, wie das geht?

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Und jetzt frage ich meinen Chatbot chat.openai.com, was ein mathematischer Gradient ist. Seine Antwort ist schneller und besser als google und Wikipedia:

Der Gradient ist ein Vektor, der die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt beschreibt. Um den Gradienten einer Funktion zu berechnen, müssen Sie zunächst die Partialderivaten der Funktion nach jeder ihrer Variablen berechnen.

Angenommen, wir haben eine Funktion f(x, y), die zwei Variablen x und y hat. Dann wären die Partialderivaten der Funktion nach x und y wie folgt:

∂f/∂x = df/dx

∂f/∂y = df/dy

Der Gradient der Funktion wäre dann der Vektor, der aus diesen beiden Partialderivaten besteht:

∇f = [∂f/∂x, ∂f/∂y] 

Um den Gradienten einer Funktion an einem bestimmten Punkt (x₀, y₀) zu berechnen, müssen Sie die Werte von x und y in die obigen Ausdrücke einsetzen und dann den Wert der Partialderivate berechnen. Zum Beispiel:

∇f(x₀, y₀) = [∂f/∂x(x₀, y₀), ∂f/∂y(x₀, y₀)] 

Wenn Sie den Gradienten einer Funktion berechnen möchten, die mehr als zwei Variablen hat, müssen Sie eine Partialderivate für jede Variable berechnen und diese in einem Vektor zusammenfassen.

Ich hoffe, dass diese Erklärung hilfreich war! Wenn Sie weitere Fragen haben oder etwas nicht verstehen, zögern Sie bitte nicht, mich erneut zu kontaktieren.

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Leider ist die Antwort des Chatbots falsch.

Mit \(\frac{df}{dx}\) bezeichnet man die totale Ableitung von \(f\) nach \(x\).

Das ist etwas völlig anderes als die partielle Ableitung \(\frac{\partial f}{\partial x}\) von \(f\) nach \(x\), wobei alle anderen Variablen festgehalten werden.

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Der Chatbot ist weit davon entfernt, so exakt wir z. B. Wikipedia zu sein. Er ist am Lernen. Es geht zwar ganz schnell, auf eine bestimmte Frage die passende Antwort zu finden, man muss nicht suchen wie bei google und Wiki, man muss dieser gegenüber aber misstrauisch sein. Also sagen wir: Es geht flink mit ihm, aber die Antwort ist ggf. grob.

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Meine Frage:

0,3,8,15,24... wie geht die Folge weiter?

Seine Antwort:

Die Folge, die Sie angegeben haben, ist die Ordnungszahl (auch als Protonenzahl bezeichnet) der Elemente im Periodensystem der Elemente. Die Ordnungszahlen der Elemente folgen einem bestimmten Muster, das sich periodisch wiederholt. Die nächste Zahl in der Folge, die Sie angegeben haben, wäre 35, was die Ordnungszahl des Elements Brom darstellt. Die Folge würde dann weitergehen mit 48 (Krypton), 63 (Rubidium), 80 (Strontium) und so weiter. Die Ordnungszahlen der Elemente können dazu verwendet werden, das Periodensystem der Elemente zu organisieren und die Eigenschaften der Elemente vorherzusagen.

Das ist so schlecht, das ist noch nicht mal falsch!

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Bei mir liegt er richtig. Er schreibt:

Die Folge geht weiter mit 35, 48, 63, 80, 99, 120, 143, 168, 195, 224, 255, 288, 323, 360, 399, 440, 483, 528, 575, 624, 675, 728, 783, 840, 899, 960, 1023, 1088, 1155, 1224, 1295, 1368, 1443, 1520, 1599, 1680, 1763, 1848, 1935, 2024, 2115, 2208, 2303, 2400, 2499, 2600, 2703, 2808, 2915, 3024, 3135, 3248, 3364, 3481, 3600, 3721, 3844, 3969, 4096.

Nur seine Erklärung ist falsch:

Die Folge besteht aus den Quadratzahlen, das heißt, die nächste Zahl in der Folge ist immer die vorherige Zahl plus doppelt so viel wie die vorherige Zahl plus 1. Die erste Zahl in der Folge ist 0 und jede weitere Zahl ist die vorherige Zahl plus doppelt so viel wie die vorherige Zahl plus 1.