Gleichung sechsten Grades

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle x^{6}-2 x^{5}-14 x^{4}+6 x^{3}-63 x^{2}+216 x+1296 \)

Problem/Ansatz:

Finde die Nullstellen ?Lösen und erklären wie man so eine Aufgabe lösen kann.

Answer 1

x^6 - 2·x^5 - 14·x^4 + 6·x^3 - 63·x^2 + 216·x + 1296 = 0

Zunächst prüft man, ob ganzzahlige Teiler von 1296 zufällig Nullstellen sind. Das ist bei x = 4 und bei x = -3 der Fall. Mit diesen Werten macht man eine Polynomdivision oder das Horner Schema.

(x^6 - 2·x^5 - 14·x^4 + 6·x^3 - 63·x^2 + 216·x + 1296) / (x - 4) = x^5 + 2·x^4 - 6·x^3 - 18·x^2 - 135·x - 324

(x^5 + 2·x^4 - 6·x^3 - 18·x^2 - 135·x - 324) / (x + 3) = x^4 - x^3 - 3·x^2 - 9·x - 108

Jetzt prüft man nochmals, ob x = 4 und x = -3 Nullstellen sind. Und da sie das sind, macht man erneut eine Polynomdivision.

(x^4 - x^3 - 3·x^2 - 9·x - 108) / (x - 4) = x^3 + 3·x^2 + 9·x + 27

(x^3 + 3·x^2 + 9·x + 27) / (x + 3) = x^2 + 9

Der Restterm x^2 + 9 hat jetzt nur noch komplexe Nullstellen.

Ist das so verständlich geworden? Wenn nicht, frag gerne nochmals nach.

Nullstellen sind also

x = -3 (2-fach) ; x = 4 (2-fach) ; x = ± 3·i (komplexe Nullstellen nur bei Bedarf)

Answer 2

Polynomdivision, 1. Nullstelle raten = ganzzahliger Teiler von 1296

geeignete Teiler sind -3, 4, -9

https://www.wolframalpha.com/input?i=factorise+x%5E6-2+x%5E5-14+x%5E4%2B6+x%5E3-63+x%5E2%2B216+x%2B1296

Comments

Mit x = -9 war dir ein klitzekleiner Fehler unterlaufen. Ist aber nicht so tragisch. Spätestens bei einer versuchten Polynomdivision merkt man, dass das nicht funktioniert.

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Danke, ich habe das Quadrat überlesen.

Die anderen Nullstellen sind komplex und sind wohl nicht gesucht.