Mittels Polarkoordinaten alle sechsten Wurzeln aus -64 berechnen

Question

Hallo !

Mittels Polarkoordinaten sollen alle sechsten Wurzeln aus -64 berechnet werden und als Real & Imaginärteil dargestellt werden. Die Lösungen dazu sollen lauten :

1) 1.732 + i

-2) 2i

3) -1.732 - i

4) -2i

5) 1.732 -i

Habe Probleme mit dem Ansatz der Lösung dieses Problems. Bitte daher um Hilfe !

!

Answer 1

Gehe über die Polarkoordinaten: 

x^6 = -64 = 64 * e^{iπ}        

x1 = ⁶√(64) * e^{iπ / 6}  = 2 ( cos(π/6) + i sin(π/6) ) = ...

x2 = ⁶√(64)* e^ (iπ/ 6  + (2π)/6) = ^6√(64)* e^ (i3π/ 6) = 2 * e^{iπ/2} = 2i 

x3 = ⁶√(64)* e^ (iπ/ 6  + (4π)/6) = ...

x4 = ⁶√(64)* e^ (iπ/ 6  + (6π)/6) = ...

x5 = ⁶√(64)* e^ (iπ/ 6  + (8π)/6) = .... = -2i

x6 = ⁶√(64)* e^ (iπ/ 6  + (10π)/6) = ....

Answer 2

Mittels Polarkoordinaten alle sechsten Wurzeln aus -64 berechnen

Answer 3

deine  6.Wurzeln sind die Lösungen der Gleichung z⁶ = - 64

 Lösung der komplexen Gleichung  z⁶ = w    

w hat bei dir die Form  w  =  a + i · b   mit a = - 64 und  b = 0  

r = √(a² +b²)  und  φ_w =  arccos(a/r)  wenn b≥0   [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] 

Die 6 Werte z_k  für z = ⁶√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , 5

aus der Formel    z_k = ⁶√r · [ (cos( (φ_w + k · 2π) / 6 ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / 6 ) ] 

Gruß Wolfgang