Beweis folgender Abbildung

Question

Es seien B = (b1, b2, . . . , bn) und C = (c1, c2, . . . , cm) Basen von V bzw. W. Ferner sei B∗ =
(b∗_1, b∗_2, . . . , b∗_n) die zu B duale Basis. Beweise, dass die Abbildungen
f_ij : V → W : x → ⟨b∗_j, x⟩c_i mit i ∈ {1, 2, . . . ,m}, j ∈ {1, 2, . . . , n}
eine Basis des Vektorraumes L(V,W) bilden.

Ich denke man solle die Abbildungen f_ij durch ihre Koordinatenmatrizen bzgl. der gegebenen Basen darstellen. Mir aber nicht sicher, könnte mir jemand helfen?

Answer 1

Hallo,

ich folge Deiner Idee und bestimme die Koordiantenmatrix \(M(f_{ij},B,C)\) von \(f_{ij}\) bezüglich der Basene B und C. Ich verwende einen Apostroph statt Stern und benutze auch die duale Basis \((c_1', ..., c_m')\) zu C. Diese Matrix hat folgende Einträge:

$$M(f_{ij},B,C)_{pq}=\langle c_p',f_{ij}(b_q)\rangle = \langle c_p',\langle b_j',b_q\rangle c_i\rangle =\langle c_p',\delta_{jq} c_i\rangle=\delta_{jq}\delta_{pi}$$

Bei dieser Matrix sind also alle Einträge gleich 0 außer einer 1 auf der Position p=i und q=j. Diese Matrizen bilden offenbar eine Basis für den Raum der Matrizen und daher bilden auch die \(f_{ij}\) eine Basis in L(V,W).

Gruß Mathhilf

Comments

Könntest du den Schritt mit den Gleichungen bei der Matrix evtl. bisschen genauer noch erklären?

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Welchen Schritt meinst Du. Wir haben 4 Gleichheitszeichen....

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Bei der zweiten, also f_ij (b_q) ausgewertet wird zu ⟨b*_j,b_q⟩c_i. Wie kommst du du genau auf b_q, weil müsste da nicht x stehen?

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Die Definition der \(f_{ij}\) ist \(f_{ij}(x)=\langle b'_j,x\rangle c_i\) und hier ist eben \(x=b_j\)

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Asoo ok. Danke für die Klarstellung

Answer 2

Wenn du    dim( L(V,W)) = dim(V)*dim(W) =n*m schon verwenden darfst,

brauchst du ja nur noch die lin. Unabhängigkeit der f_ij zu zeigen, etwa so:

Seien \( a_{i,j} \in \mathbb{R} \text{ mit } \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1}^n a_{i,j}\cdot f_{i,j}=0 \)

Also gilt für alle v∈V   \(  \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1}^n f_{i,j}(v)=0 \)

Insbesondere also auch für die Basiselemente von B. Sei b_k so ein Basiselement.

==>  \(  \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1}^n a_{i,j}\cdot f_{i,j}(b_k)=0 \)

Def. von f_ij gibt :

==>  \(  \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1}^n a_{i,j}\cdot <b^*_j,b_k>c_i=0 \)

Wegen \(  <b^*_j,b_k> = δ_{j,k} \) bleibt nur  \(  \sum \limits_{i=1}^m a_{i,k}\cdot c_i=0 \)

und weil C eine Basis für W ist, gilt \( a_{i,k} = 0 \) für alle i ∈ {1, 2, . . . ,m}

Da man die entsprechende Überlegung für jedes  k ∈ {1, 2, . . . ,n} machen kann,

sind also alle \( a_{i,j} = 0 \) für i ∈ {1, 2, . . . ,m}, j ∈ {1, 2, . . . , n}

und damit die f_ij lin. unabh.