Bestimme das folgende Integral (mittels Transformation)

Question

Ich habe als Übung weitere Integrale mittels Tramsformation gelöst. Könnte wieder jemand einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben, ob meine Berechnungen so korrekt sind?

Aufgabe:

1) Bestimme das Integral \( \int \limits_{\mathcal{B}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d}(x, y) \) über den Bereich \( \mathcal{B} \subset \mathbb{R}^{2} \). Verwendet man die Transformation
\( \Psi(r, \theta)=(x(r, \theta), y(r, \theta))=(r \cos (\theta), r \sin (\theta)) \)
entspricht \( \mathcal{B} \) dem Bereich \( \Psi\left(\mathcal{B}^{*}\right) \) mit \( \mathcal{B}^{*}=\{(r, \theta) \mid 0 \leq \theta<2 \pi, 0 \leq r \leq 1+\cos (\theta)\} \).

Text erkannt:

Integrationsbereich \( \mathcal{B} \).

Integrationsbereich \( \mathcal{B} \).

Ansatz:

\( \int \limits_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d(x, y) \)
\( \psi(r, \sigma)=(x(r, \sigma), y(r, \theta)=(r \cos (\theta), r \sin (\theta)) \)
\( \psi\left(B^{*}\right) \) mit \( \left.B^{*}=\ell(r, 0) \mid 0 \leqslant \sigma<2 \pi, 0 \leqslant r \leqslant 1+\cos (\theta)\right\} \)
\( \psi(r, \theta)=\left(\begin{array}{l}x(r, \theta) \\ y(r, \theta)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}r \cos (\theta) \\ r \sin (\theta)\end{array}\right) \)
\( B^{*}=\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant \theta<2 \pi, 0 \leqslant r \leqslant 1+\cos (\theta)\} \)
\( J \psi=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta) & -r \sin (\theta) \\ \sin \left(\theta^{\circ}\right) & r \cos \left(\theta^{\circ}\right)\end{array}\right)= \)
\( |\operatorname{det}(J \psi)|=\left|r \cos ^{2}(\theta)+r \sin ^{2}(\theta)\right|=|r|=r \)
\( \int \limits_{0}^{1+\cos (\theta)} \int \limits_{0}^{2 \pi} r \cdot d \theta d r=\left.\int \limits_{0}^{1+\cos (\theta)} r d r \cdot \theta\right|_{0} ^{2 \pi}= \)
\( \int \limits_{0}^{1+\cos (\theta)} r d r \cdot 2 \pi=\left.2 \pi \cdot \frac{r^{2}}{2}\right|_{0} ^{1+\cos (\theta)}= \)
\( =2 \pi \cdot \frac{(1+\cos (\theta))^{2}}{2}=2 \pi \frac{1+2 \cos (\theta)+\cos ^{2}(\theta)}{2} \)

Comments

Du hast den Integranden oder die Jacobideterminante vergessen. Du hast die Integrationsreihenfolge nicht beachtet. Liies Dir die Antworten auf Deine vorigen Posts durch

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Bist du dir sicher, dass der Integrand \(\sqrt{x^2+y^2}\) und nicht \(\frac 1{\sqrt{x^2+y^2}}\) ist?

Das würde die Integration deutlich erleichtern.

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Ja, der Integrand ist \( \sqrt{x^2+y^2} \).

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Hast du schon Erfahrung mit Integralen zum Beispiel der Form

\(\int (1+\cos t)^3\; dt\)?

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Ja, habe ich, hier verwende ich die Reduktionsformel, aber der Prof. hat da seine eigene Variante. die ich nicht nachvollziehen konnte. Ich habe mal sogar hier im Lounge eine Stammfunktion Aufgabe gepostet, wo ich mit der Methode des Profs rechnen wollte, aber bin dann gescheitert und habe dann die übliche Integrationsregel verwendet. Wie würdest du die Stammfunktion berechnen? Gibt´s da eine andere Variante außer die Reduktions- und Produkt-zu-Summe Formel?

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Versuch zunächst deine Transformation und Integration so zu korrigieren, dass du auf das folgende Integral kommst:

$$\frac 13\int_0^{2\pi} (1+\cos \theta)^3\; d\theta$$

Danach können wir uns mit dem letzten Integrationsschritt beschäftigen.

Answer 1

Aloha :)

Du hast den Übergang von kartesichen Koordinaten \((x;y)\) zu Polarkoordinaten \((r;\varphi)\) korrekt bestimmt:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad \varphi\in[0;2\pi]\;;\;r\in[0;1+\cos\varphi]\quad;\quad dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$Dein Ergebnis kann jedoch nicht korrekt sein, weil darin noch die Variable \(\varphi\) auftaucht, für die ja die Grenzen des Integrationsintervalls einzusetzen sind.

Der korrekte Rechenweg sähe so aus:$$I=\int\limits_{r=0}^{1+\cos\varphi}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\sqrt{\underbrace{(r\cos\varphi)^2}_{=x^2}+\underbrace{(r\sin\varphi)^2}_{=y^2}}\,\underbrace{r\,dr\,d\varphi}_{=dx\,dy}=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{r=0}^{1+\cos\varphi}r^2\,dr\,d\varphi$$Da fehlt bei dir das Quadrat \((r^{\pink2})\), Wir erhalten einen Faktor \(r\) aus der Wurzelfunktion und einen Faktor \(r\) aus der Transformation des Flächenelementes \(dx\,dy\).

Da in der oberen Integrationsgrenze für \(dr\) noch die Variable \(\varphi\) auftaucht, müssen wir als erstes ein \(\varphi\in[0;2\pi]\) beliebig wählen und dann festhalten. Für dieses bestimme \(\varphi\) führen wir die Integration über \(dr\) durch:$$I=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left[\frac{r^3}{3}\right]_{r=0}^{1+\cos\varphi}d\varphi=\frac13\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(1+\cos\varphi)^3d\varphi$$

Für die Integration über \(d\varphi\) würde ich den Integranden zunächst umformen:$$(1+\cos\varphi)^3=1+3\cos\varphi+3\green{\cos^2\varphi}+\pink{\cos^3\varphi}$$$$\phantom{(1+\cos\varphi)^3}=1+3\cos\varphi+3\green{\left(\frac12+\frac12\cos(2\varphi)\right)}+\pink{\cos\varphi(1-\sin^2\varphi)}$$$$\phantom{(1+\cos\varphi)^3}=\frac52+4\cos\varphi+\frac32\cos(2\varphi)-\cos\varphi\sin^2\varphi$$sodass man das Integral sofort hinschreiben kann:$$I=\frac13\left[\frac52\varphi+4\sin\varphi+\frac34\sin(2\varphi)-\frac13\sin^3\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}=\frac13\cdot\frac52\cdot2\pi=\frac53\,\pi$$

Comments

Vielen vielen Dank für deine Erklärung Tschakabumba!

Ich habe aber einige Umformung leider noch nicht verstanden:

\(\phantom{(1+\cos\varphi)^3}=1+3\cos\varphi+3\green{\left(\frac12+\frac12\cos(2\varphi)\right)}+\pink{\cos\varphi(1-\sin^2\varphi)}\)

Warum ist cos² Φ =  (1/2 + 1/2 cos (2Φ)) ? Und wie bist du auf die pink markierte Umformung gekommen?

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Zuerst die Formel in pink:$$\cos^3\varphi=\cos\varphi\cdot\cos^2\varphi=\cos\varphi\cdot(1-\sin^2\varphi)$$

Die Formel in grün geht so:$$\cos^2\varphi=\frac12\sin^2\varphi+\frac12\cos^2\varphi+\frac12\cos^2\varphi-\frac12\sin^2\varphi$$$$\phantom{\cos^2\varphi}=\frac12\underbrace{(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi)}_{=1}+\frac12\underbrace{\left(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi\right)}_{=\cos(2\varphi)}$$$$\phantom{\cos^2\varphi}=\frac12+\frac12\cos(2\varphi)$$

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Die Formel in pink habe ich verstanden, aber die Formel in grün habe ich noch nicht durchblickt.

Warum ist \(\cos^2\varphi=\frac12\sin^2\varphi+\frac12\cos^2\varphi+\frac12\cos^2\varphi-\frac12\sin^2\varphi\)

Ist das eine bekannte Regel? Ich kann mir nicht erklären, warum cos² Φ = 1/2 sin ... ist

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Hier wurde eine "nahrhafte Null" addiert:$$\cos^2\varphi=\underbrace{\red{\frac12\cos^2\varphi+\frac12\cos^2\varphi}}_{=\cos^2\varphi}\;\underbrace{\green{+\frac12\sin^2\varphi-\frac12\sin^2\varphi}}_{=0}$$$$\phantom{\cos^2\varphi}=\left(\green{\frac12\sin^2\varphi}+\red{\frac12\cos^2\varphi}\right)+\left(\red{\frac12\cos^2\varphi}-\green{\frac12\sin^2\varphi}\right)$$

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Achso, okay, hab's jetzt verstanden, 1000 Dank!

Ich wäre aber niemals auf die Idee gekommen das so zu rechnen.

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Mir ist noch im Nachhinein was eingefallen: Wir erhalten ja einen Faktor r  aus der Wurzelfunktion und einen Faktor aus der Determinante, oder?

Du hast aber erklärt, dass wir einen Faktor aus der Transformation des Flächenelementes erhalten, aber wo ist dann das r von der berechneten Determinante?

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Mit der Determinanten wird das Flächenelment transformiert. Die Determinante liefert genau den Faktor \(r\), der in \(dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\) auftaucht.

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Achsooo, alles klar, vielen Dank!

Answer 2

Da du auch trigonometrische Reduktionsformeln kennst, ergänz ich hier mal noch die Berechnung des Integrals \(I= \frac 13\int_0^{2\pi}(1+\cos \theta)^3\; d\theta\) per solch einer Formel.

Ich wende dabei die Reduktionsformel für \(\int \sin^{2n} x \; dx\) an. Dazu muss ich aber erst einmal das Integral etwas "massieren" und die Integrationsgrenzen symmetrisch zu 0 machen:

(Insofern ist Tschakabumbas Integrationsmethode sicher die schnellere.)

Wir brauchen zunächst:

\(\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t = 2\cos^2 t - 1\)

Also

\(\int_0^{2\pi}(1+\cos \theta)^3\; d\theta = \int_0^{2\pi}(2\cos \frac{\theta}2)^3\; d\theta = 8 \int_0^{2\pi}\cos^6 \frac{\theta}2\; d\theta\)

Weil wir keine Lust haben, dauernd \(\frac{\theta}2\) zu schreiben, substituieren wir \(\boxed{u = \frac{\theta}2}\):

\(8 \int_0^{2\pi}\cos^6 \frac{\theta}2\; d\theta = 16\int_0^{\pi}\cos^6 u\; du\)

Um die Reduktionsformel anzuwenden, schieben wir alles um \(\frac{\pi}2\) nach links. Also \(\boxed{u=t+\frac{\pi}2}\) und beachte, dass \(\cos \left( t+\frac{\pi}2\right) = -\sin t\):

\(16\int_0^{\pi}\cos^6 u\; du = 16\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\sin^6 u\; du\).
Jetzt macht die Reduktionsformel Spaß, denn \(\cos \frac{\pi}2 = \cos \left(-\frac{\pi}2\right) = 0\):

\(16\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\sin^6 u\; du = 16\cdot\frac 56 \int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\sin^4 u\; du \)

\(= 16\cdot \frac 56 \cdot\frac 34\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\sin^2 u \; du = 16\cdot \frac 56 \cdot\frac 34\cdot \frac{\pi}2 = 5\pi\)

\(\boxed{I= \frac 13\int_0^{2\pi}(1+\cos \theta)^3\; d\theta = \frac 53 \pi}\)

Comments

Vielen Dank tranceloaction, ich rechne mal die Aufgabe mit deiner Variante und melde mich bei Fragen, danke dir!!

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Klar. Lass dir Zeit. Lieber in Ruhe durchrechnen.