Ermitteln Sie die Darstellungsmatrix

Question

Aufgabe:

(a) Eine lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) ist durch
\( f\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \end{array}\right) \text { und } f\left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \)
vollständig festgelegt. Begründen Sie, warum.
Ermitteln Sie die Darstellungsmatrix von \( f \) bezüglich der Standardbasis von \( \mathbb{R}^{2} \).
(b) Gegeben ist folgende lineare Abbildung \( f \) :
\( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}: \quad\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x_{1}-x_{2}+x_{3} \\ -6 x_{2}+12 x_{3} \\ -2 x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3} \end{array}\right) \)
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von \( f \) bezüglich der Standardbasis des \( \mathbb{R}^{3} \), sowie die Darstellungsmatrix \( A_{B B}(f) \) von \( f \) bezüglich der Basis \( B=\left(\left(\begin{array}{r}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)\right) \).

Problem/Ansatz:

a) Bei Aufgabe steh ich auf den Schluch mit der brgündung und bei der anderen Teilaufgabe ist meine lösung [5,1], [2,1]

b) Die Darstellungsmatrix A von f bezüglich der Standardbasis des R3 wurde wie folgt berechnet:

A = [f(1, 0, 0) | f(0, 1, 0) | f(0, 0, 1)]
= [1 | 0 | -2]
| [-1 | -6 | 2]
| [1 | 12 | -2]

Die Darstellungsmatrix ABB(f) von f bezüglich der Basis B wurde wie folgt berechnet:

ABB(f) = [f(-1, 0, 1) | f(-1, 2, 1) | f(1, 0, -2)]
= [-2 | 2 | 2]
| [1 | -4 | 0]
| [-1 | 8 | 4]

Für b ist das meine Lösung.

Es wäre sehr hilfreich, wenn jemand schaut ob ich richtig gererchnet habe und wenn nicht ob ihr mir dann eure richtige Lösung schreiben könntet

Answer 1

Aloha :)

zu a) Du weißt wie die Funktion \(f\) auf zwei Vektoren wirkt. Daher weißt du auch, wie die zugehörige Abbildungsmatrix \(F\) auf zwei Vektoren wirkt:$$F\binom{1}{2}=\binom{3}{-1}\quad;\quad F\binom{0}{1}=\binom{2}{1}$$Das kannst du zu einer Matrix-Gleichung zusammenfassen, aus der dann \(F\) folgt:$$F\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}3 & 2\\-1 & 1\end{array}\right)\implies F=\left(\begin{array}{rr}3 & 2\\-1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\2 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}-1 & 2\\-3 & 1\end{array}\right)$$Die inverse Matrix existiert und ist eindeutig bestimmt, daher ist auch die Abbildungsmatrix \(F\) eindeutig festgelegt.

zu b) Die Abbildungsmatrix \({_E}A_{E}\) bezüglich der Standardbasis \(E\) kannst du sofort hinschreiben:$$\small\begin{pmatrix}x_1-x_2+x_3\\-6x_2+12x_3\\-2x_1+2x_2-2x_3\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}-1\\-6\\2\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\12\\-2\end{pmatrix}=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\0 & -6 & 12\\-2 & 2 & -2\end{array}\right)}_{={_E}A_E}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$Das ist fast dein Ergebnis, du hast nur die Zeilen und die Spalten vertauscht.

Die Koordinaten der Vektoren der Basis \(B\) sind bezüglich der Standardbasis \(E\) angegeben. Daher kennst du die Übergangsmatrix von \(B\) nach \(E\):$${_E}\mathrm{id}_{B}=\left(\begin{array}{rrr}-1 & -1 & 1\\0 & 2 & 0\\1 & 1 & -2\end{array}\right)$$Damit können wir die Abbidlungsmatrix \({_E}A_E\) bezüglich der Basis \(B\) hinschreiben:$${_B}A_B={_B}\mathrm{id}_E\cdot{_E}A_E\cdot{_E}\mathrm{id}_B=\left({_E}\mathrm{id}_B\right)^{-1}\cdot{_E}A_E\cdot{_E}\mathrm{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}-6 & 0 & 12\\6 & 0 & -12\\0 & -2 & -1\end{array}\right)$$Du hast die Bilder der Basisvektoren eingesetzt. Dadurch erhältst du die Bilder der Basisvektoren bezüglich der Standardbasis \(E\). Du musst die Ergebnisse noch in die Basis \(B\) überführen. Allerdings ist auch dein "Zwischenergebnis" falsch, da du ja bei \(B\) die Zeilen und die Spalten vertauscht hast.

Answer 2

\( b_1=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix},b_2=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) sind eine Basis von \( \mathbb{R}^{2} \), da linear unabhängig.

Sei \(v\in \mathbb{R}^{2} \) beliebig, dann existieren eindeutige \(s,t\in\mathbb{R} \), so dass \(v=s\cdot b_1+t\cdot b_2  \).
https://mathepedia.de/Eindeutigkeit_der_Basisdarstellung.html

\(f(v)=f(s\cdot b_1+t\cdot b_2)=s\cdot f(b_1)+t\cdot f(b_2)  \)

Du kennst \( f(b_1), f(b_2)  \), deswegen kennst du für jedes beliebig \(v\in \mathbb{R}^{2} \) im Definitionsbereich das Bild :)

Die Funktion ist also vollständig definiert.

Du willst die Darstellungmatirx bezüglich der Standardbasis \((e_1,e_2)\) angeben:

\(e_1 =\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}=1\cdot b_1-2\cdot b_2\)

\(e_2=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}=b_2\)

\(f(e_1)=f(1\cdot b_1-2\cdot b_2)=1\cdot f(b_1)-2\cdot f(b_2)=\begin{pmatrix} -1\\-3 \end{pmatrix}=(-1)\cdot e_1+(-3)\cdot e_2\)

\(f(e_2)=1\cdot f(b_2)=...\)

Ich erhalte \( \begin{pmatrix} -1& 2 \\ -3& 1 \end{pmatrix} \)

Ergebnis bekommst du auch mit Transformationsmatritzen.

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Basiswechselmatrizen#Beispiele

b)

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Abbildungsmatrizen#Beispiele

Du hast die transponierte Darstellungsmatrix angegeben, eigentlich für Standardbasis:

\( \begin{pmatrix} 1& -1&1\\ 0&-6 &12\\ -2& 2&-2 \end{pmatrix} \)

Nutze den hier zum besseren formatieren:

https://www.matheretter.de/rechner/latex

Habe es zeitlich schnell eingeschoben, müsste aber Sinn ergeben:

Bezüglich Basis \(B\).

\( b_1:=\begin{pmatrix} -1\\ 0\\1 \end{pmatrix},b_2:=\begin{pmatrix} -1\\ 2\\1 \end{pmatrix},b_3:=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\-2 \end{pmatrix}\)

$$ f(b_1)=\begin{pmatrix} 0\\ 12\\0 \end{pmatrix}=(-6)\cdot b_1+6\cdot b_2+0\cdot b_3\Rightarrow \begin{pmatrix} -6 &...&... \\ 6 & ...&...\\ 0 & ...&...\end{pmatrix}$$ usw