Quadratische Gleichung, Definitionsmenge bestimmen

Question

Hallo!

Wie muss ich hier die Definitionsmenge bestimmen? Ich habe zwar die Aufgabe gelöst, aber die Definitionsmenge fehlt noch. Wie muss Ichbewusstsein genau vorgehen?

Aufgabe:

j) \( \sqrt{x+\sqrt{x+16}}=2 \)

Problem/Ansatz:

j) \( \sqrt{x+\sqrt{x+16}}=2 / \)
Definitionomenge:
\( \begin{array}{l} x+\sqrt{x+16}>0 \\ \sqrt{x+16}>-x 1^{2} \\ x+16>+x^{2} \\ -x^{2}+x+16>0 \\ x^{2}-x-16 \Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}-\frac{64}{4}=0 \\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{65}{4} \\ \left(x-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{65}{4}} \Rightarrow \\ \sqrt{x+\sqrt{x+16}}=21^{2} \\ x+\sqrt{x+16}=4 \\ \sqrt{x+16}=4-x 1^{2} \\ x+16=16-8 x+x^{2} \\ x^{2}-8 x-x+16-16 \Longleftrightarrow x^{2}-9 x=0 \\ x \cdot(x-9)=0 \\ x=0 \quad x=9 \\ \end{array} \)

Answer 1

Für die Definitionsmenge bestimmst du, für welche x alle Ausdrücke unter Wurzeln nichtnegativ sind:

\(x+16 \geq 0 \Rightarrow x\geq -16\)

Zusätzlich:

\(x+\sqrt{x+16}\geq 0\Rightarrow x\geq \frac 12(1-\sqrt{65}) > -16\)

Also ist \(x\geq \frac 12(1-\sqrt{65})\) die Definitionsmenge.

Aber Achtung:  

Bei der Lösung der Gleichung erhältst du aufgrund des Quadrierens die Scheinlösung \(x=9\). Einsetzen zeigt, dass nur x=0 Lösung ist, auch wenn x=9 im Definitionsbereich des Wurzelterms ist.

Nachtrag zu \(x+\sqrt{x+16}\geq 0\Rightarrow x\geq \frac 12(1-\sqrt{65})\):

\(x+\sqrt{x+16}\geq 0\Leftrightarrow x \geq -\sqrt{x+16}\)

Da \(-\sqrt{x+16}\leq 0\) ist \(x \geq 0\) auf jeden Fall Lösung.

Wir müssen also die Ungleichung nur noch im Bereich \(x \leq 0\)  lösen:

\(x \geq -\sqrt{x+16} \stackrel{-\sqrt{x+16}\leq x\leq 0}{\Longrightarrow} x^2\leq x+16\)

\(\Rightarrow x^2 -x - 16 \leq 0 \Leftrightarrow \left(x- \frac 12\right)^2 -\frac{65}4 \leq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac 12\left(1-\sqrt{65}\right) \leq x \leq \frac 12\left(1+\sqrt{65}\right)\)

Die Einschränkung für x nach oben ist nicht relevant, da wir schon wissen, dass \(x\geq 0\) zur Lösungsmenge der Ungleichung gehört.

Somit erhalten wir: \(\boxed{x \geq \frac 12\left(1-\sqrt{65}\right) }\)

Comments

Wie kommst du auf den Term mit √65?

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@ggT22
Wurzel auf rechte Seite bringen, Quadrieren und quadratische Ungleichung lösen.
\(x+\sqrt{x+16}\geq 0\Leftrightarrow x\geq -\sqrt{x+16}\)

\(\Rightarrow x^2 -x - 16 \geq 0 \)

\(\left(x- \frac 12\right)^2 -\frac 14 - 16 = \left(x- \frac 12\right)^2 -\frac{65}4 \geq 0\)

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Alles klar. Danke dir!

Ein gutes, gesundes Neues!

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Vielen Dank für die Erklärung trancelocation!

Ich hab's jetzt nachgerechnet und für x kommt ja x= 1/2 (1+\( \sqrt{65} \)

Lautet dann die Def.menge nicht x>0, also 1/2 (1+\( \sqrt{65} \)) > 0?

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@science4
\(\frac 12 (1+\sqrt{65})\) ist eine Scheinlösung, die beim Quadrieren entsteht. Wenn du diesen Wert in den Wurzelausdruck einsetzt, erhältst du einen positiven Wert.

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@ggT22
Mir ist aufgefallen, dass ich beim Quadrieren der Ungleichung das Relationszeichen nicht umgedreht habe, da \(-\sqrt{x+16}\leq 0\).

Also bitte alle Relationszeichen als umgedreht betrachten. Man kann ja Kommentare leider nach einer gewisssen Zeit nicht mehr korrigieren. (Oder gibt es da doch einen Trick?)

Werde daher noch einen Nachtrag in die Antwort schreiben.

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erstmal danke für die ganzen Erklärungen trancelocation, aber ich hab‘s immer noch nicht ganz durchblickt, sry.

Man muss ja bei der Bestimmung der Definitionsmenge die Fallunterscheidung machen. Also die Definitionsmenge sieht ja so aus, oder? Wir haben zwei Nullstellen, daher zwei Definitionsmengen:

3) j) \( \sqrt{x+\sqrt{x+16}}=2 \)
Wefinitionsmenge:
\( x+\sqrt{x+16}>0 \)
\( x>-\sqrt{x+16} /^{2} \)
\( x^{2}<x+16 \)
\( x^{2}-x-16<0 \)
\( =\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}-\frac{64}{4}<0 \)
\( \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{65}{4}<0 \)
1. Fall: \( \quad x \geqslant 0 \Rightarrow \)
\( \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{65}{4} \)
\( x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{65}}{2} \Rightarrow x=\frac{\sqrt{65}}{2}+\frac{1}{2} \)
2. Fall: \( x<0 \Rightarrow-\left(x-\frac{1}{2}\right) \).
\( -\left(x-\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{65}}{2} \)
\( \left(x-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\sqrt{65}}{2} \)
\( x=-\frac{\sqrt{65}}{2}+\frac{1}{2} \)

\( x>\frac{\sqrt{65}}{2}+\frac{1}{2} \quad \&  x>-\frac{\sqrt{65}}{2}+\frac{1}{2} \)

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Wir haben zwei Lösungen der quadratischen Gleichung. Eine der Lösungen ist aber durch das Quadrieren des Wurzelausdruckes hinzugekommen und somit eine Scheinlösung, die gar nichts mit dem Wurzelterm zu tun hat.

Außerdem solltest du auch die Null mit in die Definitionsmenge einschließen, da \(\sqrt 0=0\) ist - also benutze \(\leq\) bzw. \(\geq\).

Beim Lösen quadratischer Ungleichungen geht die Fallunterscheidung übrigens bzgl. des Ausdruckes, der im Quadrat steht:
\(\left(x-\frac 12\right)^2 \leq \frac{65}4 \Leftrightarrow  \left| x-\frac 12\right| \leq \frac{\sqrt{65}}2\)

\( \Leftrightarrow -\frac{\sqrt{65}}2 \leq x-\frac 12 \leq \frac{\sqrt{65}}2 \)