Hallo und willkommen in der Mathelounge!
zu Deiner Frage:
Kennt jemand diese Vorgehensweise zur Volumenberechnung von Körpern mit quadratischer Grundfläche
im Prinzip ja. Wenn man mal davon absieht, dass es sich bei Deinem Körper um einen Spezialfall handelt. Grundsätzlich kannst Du nämlich das Volumen jeden Körpers 'scheibchenweise' berechnen.
Angenommen der Körper befindet sich im Intervall \(x \in [a,\,b]\) und sein zur Richtung \(x\) senkrechter Querschnitt \(A(x)\) ist überall bekannt. Dann ist sein Volumen$$V = \int\limits_{x=a}^{b}A(x)\, \text dx$$siehe auch Prinzip von Cavalieri.
In Deine (Spezial-)Fall ist der Querschnitt stets ein Quadrat und die halbe Seitenlänge des Quadrats hast Du mit \(f(x)=ax^k\) mit \(k \in \mathbb{N}\) vorgegeben. Der Körper befindet sich im Intervall \(x\in[0,\,h]\)
Folglich ist die Fläche \(A\) des Quadrats an der Stelle \(x\):$$A(x)= \left(2ax^k\right)^2 = 4a^2x^{2k}$$Oben einsetzen gibt$$\begin{aligned}V(h) &= \int\limits_{x=0}^{h} 4a^2x^{2k}\, \text dx\\ &= \left.4a^2 \frac{1}{2k+1}x^{2k+1}\right|_{x=0}^{h}\\&=\frac{4a^2}{2k+1}h^{2k+1}\end{aligned}$$und das ist genau die Formel, die Du oben angegeben hast, wenn man mal davon absieht, dass ich hier die Höhe des Körpers mit \(h\) statt \(x\) benannt habe.
Zu Deinem Dokument:
Du solltest jede Größe, die dort in irgendeiner Formel auftaucht vorher genau definieren. Achte auch darauf, dass jeder Teil auf den anderen logisch aufbaut. Mache Dir immer bewußt welche Vorausetzungen für das eben geschriebene notwendig sind und prüfe, ob diese im Vorfeld alle definiert bzw. gezeigt worden sind,
Weiter solltest Du unterschiedliche Größen streng unterschiedlich benennen. Es ist verwirrend, wenn Du mit \(x\) die Gesamthöhe( oder -Länge) des Körpers bezeichnest aber \(x\) auch noch die Variable innerhalb einer Dimension ist. Also wähle besser \(h\) oder \(b\) für die Abmessung über alles.
Bei den Summen über verschieden \(x_k\) solltest Du das Summenzeichen verwenden. Es mag am Anfang ungewoht sein, schafft aber Überblick. Z.B. für die Obersumme \(S_o\) bei der Teilung des Körpers in \(n\) gleich dicke Scheiben$$S_0 = \frac{h}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \left(2f(x_k)\right)^2 \quad x_k = k \cdot \frac{h}{n} $$
Du solltest vielleicht noch erwähnen (und erklären), welche Anforderung an \(f(x)\) gestellt werden, damit das oben erwähnte \(S_o\) tatsächlich die Obersumme ist - also stets \(S_o \gt V\) gilt.
Gruß Werner
PS.: ich kann auf Dein Dokument nicht (mehr) zugreifen. Man benötigt anscheinend eine spezielle Berechtigung:
