Wie prüfe ich dieses Aspekte?

Question

Text erkannt:

1. Sei \( P_{n}[x] \) der Vektorraum \( { }^{1} \) über \( \mathbb{R} \) der Polynome mit Grad kleiner gleich \( n \in \mathbb{N} \), d.h \( P_{n}[x]=\left\{\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} \in \mathbb{R}[x], a_{i} \in \mathbb{R}, 0 \leq i \leq n\right\} \leq \) \( \mathbb{R}[x] \).
(a) Geben Sie zwei unterschiedlichen Basen davon an.
(b) Ist \( \left\{x+1, x-1, x^{2}, \ldots, x^{n}\right\} \) eine Basis von \( P_{n}[x] \) ?
(c) Ist \( P_{n}[x] \) endlich erzeugt?

Wie prüfe ich das alles?

Answer 1

Hallo

da du für endliches n eine n+1 dimensionale Basis {1,x,x^2....,x^n} angeben kannst  ist d) klar,

wenn du aus einer Basis die Standardbasis erzeugen kannst ist es eine andere Basis.

b) beantwortet a) oder du weisst, wie man aus einer Basis durch Addition von Basisvektoren eine neue Erzeugen kann.

Gruß lul