Funktionen und Produktregel

Question

Aufgabe:

Leiten Sie die folgende Funktionen mithilfe der Produktregel ab.

f(x)= (x hoch 2   -x) mal Wurzel x

Problem/Ansatz

Hey Leute, ich bräuchte bitte mal eure Hilfe.

Habe keine Ahnung

Danke

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\underbrace{(x^2-x)}_{=u}\cdot\underbrace{\sqrt x}_{=v}$$Überlege dir die beiden Ableitungen:$$u'(x)=2x-1\quad;\quad v'(x)=\left(\sqrt x\right)'=\left(x^{\frac12}\right)'=\frac12x^{-\frac12}=\frac{1}{2x^{\frac12}}=\frac{1}{2\sqrt x}$$und verwende die Produktregel \((uv)'=u'v+uv'\)$$f'(x)=\underbrace{(2x-1)}_{=u'}\cdot\underbrace{\sqrt x}_{=v}+\underbrace{(x^2-x)}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{1}{2\sqrt x}}_{=v'}$$Anschließend kannst du das Ergebnis noch vereinfachen:$$f'(x)=(2x-1)\cdot\sqrt x+(x^2-x)\cdot\frac{1\cdot\pink{\sqrt x}}{2\sqrt x\cdot\pink{\sqrt x}}=(2x-1)\cdot\green{\sqrt x}+(x^2-x)\cdot\frac{\green{\sqrt x}}{2x}$$$$\phantom{f'(x)}=\green{\sqrt x}\left((2x-1)+\frac{x^2-x}{2x}\right)=\sqrt x\left(2x-1+\frac{x-1}{2}\right)=\sqrt x\left(\frac52x-\frac32\right)$$$$\phantom{f'(x)}=\frac12\sqrt x(5x-3)$$

Comments

Wieso hast du das eine extra Wurzel x (dieses rote Wurzel x) da dazu gegeben und was heißt dieses blaue Wurzel x ?

Danke für deine Antwort, hat mir sehr weiter geholfen. :)

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Mit dem roten \(\sqrt x\) habe ich den Bruch erweitert. Dadurch steht dann im Nenner ein \(x\) und die \(\sqrt x\) wandert in den Zähler:$$\frac{1\cdot\pink{\sqrt x}}{2\sqrt x\cdot\pink{\sqrt x}}=\frac{\sqrt x}{2x}$$

Danach habe ich in beiden Termen \(\sqrt x\) als Faktor, den habe ich grün markiert:$$(2x+1)\cdot\green{\sqrt x}+(x^2-x)\cdot\frac{\green{\sqrt x}}{2x}$$Dieses \(\green{\sqrt x}\) habe ich dann ausgeklappert:$$\green{\sqrt x}\left((2x+1)+\frac{x^2-x}{x}\right)$$und danach wird nur noch der Term in der großen Klammer zusammengefasst.

Answer 2

u= x^2- x -> u' = 2x-1

v= √x = x^(1/2) -> v' = 1/2*x^(-1/2) = 1/(2√x)

Hier zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 3

Hallo,

f(x)= (x hoch 2 -x) mal Wurzel x

Also $$f(x)=(x^2 -x)\cdot\sqrt x$$

$$ u=x^2-x~~;~~v=\sqrt x=x^\frac12$$

$$ u'=2x-1~~; ~~v'=\frac12\cdot x^{-\frac12}$$