Zeigen Sie, dass f konstant ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( |f(x)-f(y)| \leq|x-y|^{2} \), für alle \( x, y \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass \( f \) konstant ist.

Frohes Neues Jahr!

Leider komme ich mit dieser Aufgabe nicht so gut zurecht und würde mich über jede Hilfe und jeden Ansatz freuen!

Comments

zeige f'(x)=0 , teile durch (x-y)

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Und vielleicht als weiterer Tipp: Schätze den Differentialquotient durch den Betrag nach oben ab und dann nochmal durch Betrag von x-y und dann im weitesten Sinne Sandwich-Satz anwenden :)

Answer 1

Noch nicht klar durch die Kommentare ?

Betrachte für beleiibiges x∈ℝ den Differenzenqoutienten

\(    \frac {f(x)-f(y)}{x-y} \) und überlege wie du dessen

Grenzwert für y gegen x bestimmen kannst.

Wegen \( |f(x)-f(y)| \leq|x-y|^{2} \) gilt ja

 \(    \frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \leq|x-y| \)

==>   \(   | \frac {f(x)-f(y)}{x-y} | \leq|x-y| \)

==>  \(  - |x-y| \leq \frac {f(x)-f(y)}{x-y}  \leq|x-y| \)

==>  \(  \lim \limits_{y \to x} (- |x-y|)  \leq \lim \limits_{y \to x} \frac {f(x)-f(y)}{x-y}  \leq \lim \limits_{y \to x} |x-y| \)

==>  \(  \lim \limits_{y \to x} \frac {f(x)-f(y)}{x-y}  =0 \)

==> f ist überall differenzierbar mit f ' (x) = 0

==>  f konstant.

Comments

Dankesehr für deine Hilfe!

Jetzt kann ich das sehr gut nachvollziehen