Bestimmen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt für ein symmetrisches Fünfeck

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie den großtmöglichen Flächeninhalt für ein symmetrisches Fünfeck ABCDE (s. Skizze), das in einen Halbkreis mit dem Radius \( r \) passt. Die Strecke \( \overline{A B} \) ist ebenfalls gleich \( r \).

Problem/Ansatz:

Ich habe jetzt schon einige Varianten versucht das Fünfeck in verschiedene Teile zu zerlegen, um so eine Funktion zu bekommen, aber ich finde keine, die mir wirklich weiterhilft.

Danke schonmal für die Mühe :)

Answer 1

\(O = (0|0)\), \(B = \left(\frac{r}{2}|0\right)\), \(D = (0|r)\).

\(C = (u|\sqrt{r^2 - u^2})\), \(U = (u|0)\). \(0 \leq u \leq r\).

Falls \(u > \frac{r}{2}\) ist, dann wird aus dem Trapez \(OUCD\) das Dreieck \(BUC\) entfernt. \(A_{\text{Fünfeck}} = 2\cdot \left(A_{OUCD} - A_{BUC}\right)\).

Ansonsten wird zu dem Trapez \(OUCD\) das Dreieck \(BUC\) hinzugefügt. Mit \(A_{BUC} = \frac{1}{2}\left(u-\frac{r}{2}\right)\sqrt{r^2 - u^2}\) lässt sich die gleiche Formel wie im ersten Fall verwenden.

Comments

Danke, aber ich weiß gerade nicht so ganz, was ich damit machen soll ^^ tut mir leid

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Ich stehe komplett auf dem schlauch

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\(A(u) = 2\cdot \left(A_{OUCD} - A_{BUC}\right)\)

Formel für Trapez raussuchen. Damit einen Term für \(A_{OUCD}\) erstellen und in obige Gleichung einsetzen.

Ebenso den Term für \(A_{BUC}\) aus der Antwort einsetzen.

Hochpunkt der so entstandenen Funktion bestimmen.

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Ich komme zur Kontrolle auf eine max. Fläche von

A = 1/2·√5·r^2

Das wäre dann ein Anteil von ca. 71% des Halbkreises, was optisch schon Sinn ergeben würde.

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Liegt U nicht auf dem Weg von D zu O? Oder ist damit gemeint, dass ein Trapez und ein Dreieck damit erstellt wird? Weil Die Punkte OUCD ergeben kein Trapez oder?

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Liegt U nicht auf dem Weg von D zu O? Oder ist damit gemeint, dass ein Trapez und ein Dreieck damit erstellt wird? Weil Die Punkte OUCD ergeben kein Trapez oder?

U liegt auf der Geraden durch O und B. Also von mir aus senkrecht unter C auf der x-Achse in der O der Ursprung ist.

Zeichne dir das ruhig mal auf Geogebra. Du kannst das dort auch easy zeichnerisch lösen.

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Mit trapez und Dreieck meine ich ein trapez zwischen UOBC und ein Dreieck zwichen UDC

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Ah ok, vergiss meinen letzten kommentar

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Ich würde mir das gerne in Geogebra zeichnen, aber ich weiß nicht, wie das in der Aufgabe geht ^^

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Weil Die Punkte OUCD ergeben kein Trapez oder?

\(O\) und \(D\) haben die gleiche x-Koordinaten.

\(U\) und \(C\) haben die gleiche x-Koordinaten.

Also sind die Kanten \(OD\) und \(UC\) parallel zueinander.

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Wie bekomme ich denn die Höhe, bzw. Breite von dem Trapez raus? Also die Strecke von O zu U?

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Es ist u richtig?

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Als Formel für die Fläche kommt dann das hier raus oder?

A(u)=2*((1/2(r+sqrt(r^2-u^2))u)-(1/2(u-r/2)*sqrt(r^2-u^2)))

Text erkannt:

\( A(u)=2 \)

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Der sieht dann so aus

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A(u)=2*((1/2(r+sqrt(r²-u²))u)-(1/2(u-r/2)*sqrt(r²-u²)))

Das ist richtig.

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Das bedeutet Ableitung bilden und Hochpunkt berechnen?

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Ist die Extremstelle bei \( \frac{2r}{\sqrt{5}} \)?

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Ist die Extremstelle bei \( \frac{2r}{\sqrt{5}} \)?

Ja - \(C_{\operatorname{opt}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}\)

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Und damit ergibt sich für A(\( \frac{2r}{\sqrt{5}} \))=\( \frac{5r^{2}}{2\sqrt{5}} \)?

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Und damit ergibt sich für A(\( \frac{2r}{\sqrt{5}} \))=\( \frac{5r^{2}}{2\sqrt{5}} \)?

das ist auch richtig. Kanst Du noch etwas vereinfachen zu$$A\left(\frac{2r}{\sqrt{5}}\right) = \frac{\sqrt{5}}{2} r^2$$

genauso hier

Als Formel für die Fläche kommt dann das hier raus oder?
A(u)=2*((1/2(r+sqrt(r2-u2))u)-(1/2(u-r/2)*sqrt(r2-u2)))

vereinfacht sich zu$$A(u) = r\left(u +\frac{1}{2}\sqrt{r^2-u^2}\right)$$

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Vielen Dank für eure Hilfe!

Answer 2

Ich komme zur Kontrolle auf eine max. Fläche von

A = 1/2·√5·r^2

Hier eine mögliche Konstruktion, die eine grafische Kontroll-Lösung ermöglicht.

Comments

Ist das so richtig?

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Eine clevere Konstruktion. Man kommt ohne Analysis aus. Ob das die Rechnung vereinfacht?

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Ob sie die Rechnung vereinfacht?

Ja - aus der Konstruktion folgt unmittelbar, dass im Optimum \(C_x = 2C_y\) ist - bzw. $$u = 2\sqrt{r^2-u^2} \implies 5u^2=4r^2 \implies u=\frac{2}{\sqrt5} r$$

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Ach stimmt ja, \(\overline{DB}\) hat eine Steigung von \(-2\), also hat \(\overline{OC}\) eine Steigung von \(\frac{1}{2}\).