Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 22 Personen aus der Stichprobe spendenfreudig sind, wenn das Verhalten …

Question

Aufgabe:

Meine Frage:
Hallo
Ich verstehe diese Aufgabe nicht.. Und habe keinen blassen Schimmer

Nur 20% der Einwohner einer Stadt spenden gelegentlich für einen guten Zweck. Die Lokalzeitung startet daraufhin eine Werbungskampange, die den Anteil der Spendefreudigen erhöhen soll. Um den Erfolg der Kampagne zu kontrollieren, werden 100 zufällig ausgewählte Personen befragt. Getestet werden sollen folgende Hypothesen:

H0= DIe Spendenfreudigkeit ist gleich geblieben.
H1= Die Spendenfreudigkeit hat sich verbessert.

a) Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 22 Personen aus der Stichprobe spendenfreudig sind, wenn das Verhalten der Menschen sich nicht verändert hat??

b)Es wird vermutet, dass die Kampange erfolgreich war. Diese Hypothese soll auf einem Signifikanzniveau von alpha= 10% getestet werden. Entwickeln Sie die Entscheidungsregel.

c) DIe Entscheidungsregel soll folgendermaßen lauten: Geben weniger als 27 der 100 Befragten an, dass sie spenden wollen, so wird für H0 entschieden, andernfalls für H1. Wie groß ist der alpha-Fehler? WIe groß ist der beta-Fehler, wenn die Spendenfreudigkeit durch die Kampagne auf 30% gesteigert werden konnte??

Für a) habe ich das Ergebnis 34,6%

Answer 1

a) Ist richtig.

b) Bestimme den kleinsten Wert für \(k\) so dass \(P(X > k) \leq 10\,\%\) ist. Dabei ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 20\,\%\). Die Entscheidungsregel ist, dass \(H_0\) abgelehnt wird wenn mindestens \(k\) Personen angeben, dass sie spenden wollen.

Laut Sigma-Regeln findest du das \(k\) irgendwo zwischen \(\mu+\sigma\) und \(\mu + 1,64\sigma\).

c) Der alpha-Fehler ist \(P(X \geq 27)\) mit dem \(X\) aus Teilaufgabe b).

Der beta-Fehler ist \(P(Y < 27)\) wobei \(Y\) binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 30\,\%\) ist.

Answer 2

a) Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 22 Personen aus der Stichprobe spendenfreudig sind, wenn das Verhalten der Menschen sich nicht verändert hat??

P(X ≥ 22 | n = 100 ; p = 0.2) = 0.3460

Das hast du richtig.

b) Es wird vermutet, dass die Kampange erfolgreich war. Diese Hypothese soll auf einem Signifikanzniveau von alpha= 10% getestet werden. Entwickeln Sie die Entscheidungsregel.

Suche das linksseitige Intervall in dem mind. 90% der Werte liegen.

Bei höchstens 27 Spendern kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden. Ab 28 Spendern werden wir die Nullhypothese ablehnen.

c) DIe Entscheidungsregel soll folgendermaßen lauten: Geben weniger als 27 der 100 Befragten an, dass sie spenden wollen, so wird für H0 entschieden, andernfalls für H1. Wie groß ist der alpha-Fehler? WIe groß ist der beta-Fehler, wenn die Spendenfreudigkeit durch die Kampagne auf 30% gesteigert werden konnte??

Hier brauchst du wieder nur die Binomialverteilung wie unter a) anwenden.

α = P(X ≥ 27 | n = 100 ; p = 0.2) = ...

β = P(X < 27 | n = 100 ; p = 0.3) = ...