Gegeben ist eine irreduzible Darstellung \(\rho:G \rightarrow GL_n(\mathbb{C})\) der endlichen Gruppe G.
a)
Nun sei \(\mu:GL_n(\mathbb{C}) \rightarrow GL_n(\mathbb{C})\) eine Darstellung von \(GL_n(\mathbb{C})\) auf \(\mathbb{C}^n\) mit Linksmultiplikation. Bestimme den Charakter von \(\mu \circ \rho\) im Bezug auf \(\rho\) und zerlege \(\mu \circ \rho\) in irreduzible Charaktere.
b)
Sie \(\zeta : GL_n(\mathbb{C}) \rightarrow GL(\mathbb{C}^{n\times n})\) eine Darstellung von\(GL_n(\mathbb{C})\) auf dem Vektorraum \(\mathbb{C}^{n \times n}\) von Matrizen gegeben bei Konjugation. Bestimme den Charakter von \(\zeta \circ \rho\) im Bezug zum Charakter von \(\rho\).
Zu a)
Ich verstehe \(\mu\) als einen Basiswechseln. Also wenn \(R_g\) die Darstellungsmatrix von \(\rho (g) \) ist, dann gilt für die Basiswechselmatrix P: \(\mu (\rho (g)) = P^{-1} R_g P\).
Doch ich weiß nicht wie ich jetzt den Charakter davon bestimme, da sich bei einem Basiswechsel ja die Eigenwerte ändern.
Weiter sollte doch \(\mu \circ \rho\) bereits irreduzible sein, da \(\rho\) irreduzible ist?
Oder kann \(\mu\) auch was anders sein als ein Basiswechsel? Eine normale Matrixmultiplikation kann es ja nicht sein, da dies der Linearität widerspricht.
Zu b)
Bei der b) bin ich noch etwas ratlos.
Zum einen verwirrt mich etwas das \(GL(\mathbb{C}^{n\times n})\), da weiß ich nicht so ganz wie ich mir das vorstellen soll.
Da ich es als eine Matrix aus \(\mathbb{C}^{n\times n}\) Matrizen verstehe.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.
Mit besten Grüßen
Chakly
