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Gegeben ist eine irreduzible Darstellung ρ : GGLn(C)\rho:G \rightarrow GL_n(\mathbb{C}) der endlichen Gruppe G.

a)
Nun sei μ : GLn(C)GLn(C)\mu:GL_n(\mathbb{C}) \rightarrow GL_n(\mathbb{C}) eine Darstellung von GLn(C)GL_n(\mathbb{C}) auf Cn\mathbb{C}^n mit Linksmultiplikation. Bestimme den Charakter von μρ\mu \circ \rho im Bezug auf ρ\rho und zerlege μρ\mu \circ \rho in irreduzible Charaktere.

b)
Sie ζ : GLn(C)GL(Cn×n)\zeta : GL_n(\mathbb{C}) \rightarrow GL(\mathbb{C}^{n\times n}) eine Darstellung vonGLn(C)GL_n(\mathbb{C}) auf dem Vektorraum Cn×n\mathbb{C}^{n \times n} von Matrizen gegeben bei Konjugation. Bestimme den Charakter von ζρ\zeta \circ \rho im Bezug zum Charakter von ρ\rho.

Zu a)
Ich verstehe μ\mu als einen Basiswechseln. Also wenn RgR_g die Darstellungsmatrix von ρ(g)\rho (g) ist, dann gilt für die Basiswechselmatrix P: μ(ρ(g))=P1RgP\mu (\rho (g)) = P^{-1} R_g P.
Doch ich weiß nicht wie ich jetzt den Charakter davon bestimme, da sich bei einem Basiswechsel ja die Eigenwerte ändern.
Weiter sollte doch μρ\mu \circ \rho bereits irreduzible sein, da ρ\rho irreduzible ist?
Oder kann μ\mu auch was anders sein als ein Basiswechsel? Eine normale Matrixmultiplikation kann es ja nicht sein, da dies der Linearität widerspricht.

Zu b)
Bei der b) bin ich noch etwas ratlos.
Zum einen verwirrt mich etwas das GL(Cn×n)GL(\mathbb{C}^{n\times n}), da weiß ich nicht so ganz wie ich mir das vorstellen soll.
Da ich es als eine Matrix aus Cn×n\mathbb{C}^{n\times n} Matrizen verstehe.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.
Mit besten Grüßen
Chakly

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