Vektorgeometrie: Flugbahnen der Gleitschirme als geradlinig annehmen.

Question

Hier ist erstmal die textaufgabe :

An einem hang starten gleitschirmpiloten und fliegen ins tal. Unter idealisierten bedingungen (windstille,kein aufwind, keine lenkbewegungen ) können die flugbahnen der gleitschirme als geradlinig angenommen werden.

Der hang ist teil einer ebene h, das tal liegt in der x1x2- ebene eines kartesischen koordinatebsystems. Auf dem hang liegen die drei Punkte A(310/128/202) , B(320/140/200) und C(410/370/170). Die grenze zwischen dem hang und dem tal verläuft entlang einer geraden k.

Ein gleitschirmpilot läuft vom punk A aus den hang hinunter und hebt im punkt B ab. Danach gleitet er entlang der geraden. G:x= (320/140/200) + s(6,25/7,5/-1) für s>= O ins tal und landet im punkt l . abbildung vorhanden.

Frage : 1. Untersuchen sie, ob der gleitschirmpilot die position des fotografen überfliegt

Die ebene h und die x1x2-ebene schneiden sich in der geraden k. Der gleitschirmpilot überfliegt die getade k und landet im punk L in der x1x2-ebene.

Frage 2: zeigen sie, dass x=(0/2440/0) + r (6/-5/0) , r aus reelle , eine gleichung dieser geraden k ist. Frage 2

Comments

Frage : 1. Untersuchen sie, ob der gleitschirmpilot die positiob des fotografen überfliegt.

Kennen wir die Position des Fotografen?

Bitte darauf Achten die Fragen vollständig und korrekt zu stellen, dann kann man auch helfen.

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das stimmt mein Fehler. in der Position c befindet sich ein Fotograf auf dem Hang 

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Ich habe zum selben Vortext eine andere Aufgabe, bei der Ich nicht weiterkomme und Hilfe brauche:

(1) Leiten Sie je eine Gleichung der Ebene H in Parameterform und in Normalenform her.

[Zur Kontrolle: 5x1 + 6x2 + 61x3 = 14640]

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Bitte suche Dir drei Punkte aus die in der Ebene H liegen und stelle damit die Parameterform einer Ebene auf.

PS. Das habe ich in meiner Antwort ja schon gemacht.

H: X = [310, 128, 202] + r·[10, 12, -2] + s·[100, 242, -32] 

Nun brauchst du nur noch die Parameterform in die Koordinatenform wandeln.

--> https://www.mathelounge.de/suche?q=parameterform+koordinatenform

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Das ging schnell, vielen Dank für die Antwort. Ich habe die Kommentare wohl zu schnell überflogen :)

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der Thread ist zwar schon 1 Jahr alt, aber ich habe heute diese Aufgabe in einer Grundkursklausur bearbeiten müssen und war teilweise überfordert...könnte mir jemand sagen, wo ich diese Aufgabe mit Musterlösungen finde?

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Ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.

Es geht um die Frage 2.

Ich habe als Koordinatenform für die x1x2 Ebene x3=0 gewählt und die Parameterform der Ebene dort eingesetzt. Mein Ergebnis ist aber weit von der genannten Geradengleichung entfernt.
Ich habe Die eingesetzte Gleichung einmal nach r aufgelöst und einmal nach s. Beides dann in die Parameterform der Ebene eingesetzt, aber immer vollkommen andere Ergebnisse herausbekommen.

Für r hatte ich -16s+101   und für s= -1/16r +101/16

Das ist die Vorgehensweise, die ich am einfachsten finde.

Könnte mir da jemand weiterhelfen?

Vielen Dank schon mal.

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Hallo inkiplinki,

Unten gibt es eine diskuierte Antwort.

Kannst du die Antworten nicht mit einer Konstruktion oder einem Modell überprüfen? Alternativ mit einem online-Rechner?

Wenn nicht, ist es am Einfachsten, wenn du deine ganze Rechnung ausführlich hinschreibst. 

Es scheint sich um gleiche Fragen mit verschiedenen Zahlen zu handeln. 

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Wow, das ging ja schnell :)

Die Zeile, mit der ich weitergerechnet habe ist hier auch aufgezeigt.

202 + r·(-2) + s·(-32) = 0

Ich kenne das dann so, dass man das nach einer Variablen auflöst und das Ergebnis in die Parametergleichung einsetzt, um die Schnittgerade zu berechnen. Meine Ergebnisse daraus habe ich ja oben schon notiert.

Ich hatte die Lösungen gesehen und bis hierhin hatte ich ja auch die gleichen Ergebnisse.

Was sich mir nicht erschließt, wieso dann erst r und dann s gleich 0 gesetzt werden. Das ist für mich nicht logisch. Ich gehöre zu denen, die nicht einfach abschreiben, sondern verstehen wollen wieso...

Bisher hat meine Vorgehensweise bei anderen Aufgaben auch immer funktioniert, nur hier nicht....

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202 + r·(-2) + s·(-32) = 0

r = 101 - 16·s

Und das jetzt in die Ebenengleichung einsetzen

X = [310, 128, 202] + r·[10, 12, -2] + s·[100, 242, -32]

X = [310, 128, 202] + (101 - 16·s)·[10, 12, -2] + s·[100, 242, -32]

X = [310, 128, 202] + [1010, 1212, -202] - s·[160, 192, -32] + s·[100, 242, -32]

X = [1320, 1340, 0] + s·[- 60, 50, 0]

Was darfst du mit dieser Koordinatenform jetzt machen um sie umzuformen.

Zunächst kannst du ein beliebiges Vielfaches des Richtungsvektors nehmen. Dann darfst du den Richtungsvektor zum Ortsvektor beliebig oft hinzufügen oder abziehen.

Nach vereinfachen erhalten wir:

X = [0, 2440, 0] + s·[6, -5, 0]

Bei der Frage "Frage 2: zeigen sie, dass x=(0/2440/0) + r (6/-5/0) , r aus reelle , eine gleichung dieser geraden k ist. Frage 2"

Darfst du das Ergebnis auch benutzen. Du brauchst also nur zeigen das die gegebene Gerade in der z = 0 Ebene liegt und zwei Punkte der Geraden auf der Ebene des Hanges liegen. Das wäre das einfachste vorgehen. Man braucht also nicht die Geradengleichung herleiten. Ich mache das meist nur, weil ich erwarte, dass ein Schüler auch die Gerade herleiten kann, ohne dass sie gegeben ist.

Answer 1

Frage 1: Untersuchen sie, ob der gleitschirmpilot die position des fotografen überfliegt

[320, 140, 200] + s·[6.25, 7.5, -1] = [410, 370, z]
Das gibt keine Lösung. Also überfliegt der Pilot nicht den Fotografen

Frage 2: zeigen sie, dass x=(0/2440/0) + r (6/-5/0) , r aus reelle , eine gleichung dieser geraden k ist.

Ebene H aufstellen.

A(310/128/202) , B(320/140/200) und C(410/370/170)

H: X = A + r * AB + s * AC
H: X = [310, 128, 202] + r·[10, 12, -2] + s·[100, 242, -32] = [x, y, 0]

Lösungen sind hier sicher

r = 0 und s = 101/16
s = 0 und r = 101

Damit erhalte ich die Punkte

[941.25, 1655.625, 0] und [1320, 1340, 0]

Richtungsvektor ist also [1320, 1340, 0] - [941.25, 1655.625, 0] = [1515/4, - 2525/8, 0]

[1515/4, - 2525/8, 0] = 505/8 * [6, -5, 0]

[1320, 1340, 0] + k * [6, -5, 0] = [0, 2440, 0]

Das ist für k = -220 erfüllt. Damit ist die Korrektheit der Geradengleichung gezeigt.

Comments

ich danke ihnen für ihre Antwort . ich habe es jetzt verstanden. können Sie mir bitte noch bei weiteren drei aufgaben zu der textaufgaben helfen ?

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Stell die Fragen einfach ein. Jede Aufgabe getrennt als eine Frage. Dann wird dir bestimmt jemand helfen. es wäre gut, wenn du schon Lösungsvorschläge oder so beifügst.

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ich habe noch eine Frage zu der Aufgabe Nr 1  ich verstehe doch noch nicht ganz wie sie auf diesen rechenweg gekommen sind  können sie mir es bitte erklàren, warum gerade diese rechenweg und kein anderer ?also ich weiss schon wie sie die Gleichung aufgestellt haben, aber ich verstehe nicht wieso diese Gleichung ?

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Eigentlich kannst du hier die z-Koordinate auch ganz rausnehmen. Das ist als wenn du es von oben betrachtest.

[320, 140] + s·[6.25, 7.5] = [410, 370] 

Wenn wir also den Flug von oben als Gerade betrachten. dann schauen wir ob wir dabei den Punkt des Fotografen überfliegen.

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Ok. Jetzt habe ich doch fragen zu der aufgabe zwei . H: X = [310, 128, 202] + r·[10, 12, -2] + s·[100, 242, -32] = [x, y, 0] Lösungen sind hier sicher r = 0 und s = 101/16 s = 0 und r = 101 Wieso ebene h = ( x/y/ 0) und wie sind sie auf r und s gekommen ? Und wieso zwei verschiedene ergebnisse der r und s ?

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Das x und y sagt ja nur aus, dass diese Werte unnteressant sind. Du könntest hier also auch nur die z Koordinate betrachten

202 + r·(-2) + s·(-32) = 0

Das gibt unendlich viele Lösungen. es langt hier zwei Auszurechnen. Also für r = 0 und für s = 0.

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Ah ok. Und für r = 101 ist nur ein beispiel ? Und wie sind Sie auf diese punkte gekommeb ? [941.25, 1655.625, 0] und [1320, 1340, 0]

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Die Lösungen für r und s einfach einsetzen:

[310, 128, 202] + r·[10, 12, -2] + s·[100, 242, -32]

Also etwas mitdenken solltest du schon.

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Ok aber wieso r =101 ? Ich habe für r= 101 und s=0 eingesetzt bin aber nicht azf die punkte gekommen

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202 + r·(-2) + s·(-32) = 0

Bitte hier für s einfach 0 einsetzten und nach r auflösen.

Dann nochmal dort für r = 0 einsetzen und dann nach s auflösen.

Das gibt die beiden Lösungen.

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Ok danke das habe ich jetzt. In die ebene habe ich für r= 101 und s= 16/100 eingesetzt, bin aber nicht auf die punkte gekommen.

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Dann denk jetzt bitte nochmal nach was du verkehrt gemacht hast.

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Das weiß ich jetzt nicht

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Können Sie mir es bitte erklären ?

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Du musst schon die zusammengehörigen Wertepaare einsetzen

[310, 128, 202] + r·[10, 12, -2] + s·[100, 242, -32]

Die Lösungen waren

1. r = 0 und s = 101/16 

2. s = 0 und r = 101

Du darfst also nicht für r und s jeweils 0 einsetzen und du darfst auch nicht für r 101 und für s 101/16 gleichzeitig einsetzen.

Du musst jeweils die Werte für die 1. Lösung und für die 2. Lösung getrennt einsetzen.

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ah ok danke. ich habe aber für s = 16/100 raus und nicht s = 101/16

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Dann solltest du nochmal nachrechnen.

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Ja das stimmt, mein Fehler.

Ich habe jetzt noch eine letzte Frage, wozu habe ich jetzt den richtungsvektor berechnet ? Was war denn jetzt der Sinn von der Rechnung ? verstehe ich nicht ganz

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Du sollst ja eine Geradengleichung bekommen. Also einen Ortsvektor und einen Richtungsvektor. Erst wenn du beides gezeigt hast, hast du damit die Geradengleichung für k nachgewiesen.

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Ah . Danke Danke Danke für Ihre Hilfe ! Sie haben mir sehr viel geholfen ! Danke :)