Bestimmen Sie die Determinante der linearen Abbildung:

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum. Außerdem seien 0 ̸= Φ ∈ V∗ und 0 ̸= w ∈ Ker Φ.

Bestimmen Sie die Determinante der linearen Abbildung:

π : V → V , π(v) := v + Φ(v) · w .

Problem/Ansatz:

Ich brauche Hilfe bei der Aufgabe, bitte!

Answer 1

Du benötigst eine Matrixdarstellung der Abbildung \(\Pi\) bzgl. einer Basis von \(V\).

\(\Phi\) ist aus \(V^{\star} \Rightarrow \dim \ker \Phi =n-1\).

Sei also \(w_1,\ldots , w_{n-1}\) eine Basis von \(\ker \Phi\), wobei \(w_1 = w\) sei.

Wir ergänzen zu einer Basis von \(V\) durch ein \(w_n\) mit \(\Phi (w_n) \neq 0\).

Bzgl. dieser Basis \(W = \{w_1,\ldots , w_n\}\) ergibt sich nun eine Matrixdarstellung \(P\) von \(\Pi\). Benutze dabei, dass \(\Phi(w_1) = \ldots = \Phi(w_{n-1})=0\)):

\(\Pi(w_1) = w_1\)

\(\cdots\)

\(\Pi(w_{n-1}) = w_{n-1}\)

\(\Pi(w_{n}) = w_{n} + \Phi(w_n)\cdot w_1\)

D.h.,

\( P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \Phi(w_n) \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

\(\Rightarrow \det P = 1\)