Bestimme das folgende Integral ( mittels Transformation)

Question

Hallo!
Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung

Aufgabe:

p) Bestimme das Integral \( \int \limits_{\mathbb{R}^{2}} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}} \mathrm{~d}(x, y) \). Verwende dazu die Transformation auf Polarkoordinaten. Dabei gilt
\( \mathbb{R}^{2}=\{(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)) \mid r \in[0, \infty), \varphi \in[0,2 \pi)\} . \)

p)
\( \begin{array}{l} \int \limits_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}} d(x, y) \\ \psi(r, \varphi)=\left(\begin{array}{l} x(r, \phi) \\ y(r, \phi) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} r \cos (\phi) \\ r \sin (\phi) \end{array}\right) \\ |\operatorname{det} J \psi|=\left(\begin{array}{lr} \cos (\phi) & -r \sin (\phi) \\ \sin (\phi & r \cos (\phi) \end{array}\right)=|r|=r \\ \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^{2}}{2}} \cdot r \cdot d r \cdot d \phi=\int \limits_{0}^{2 \pi} d \phi \cdot \int \limits_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^{2}}{2}}  r \cdot d r \\ =-\int \limits_{0}^{2 \pi} d \phi \cdot \int \limits_{0}^{\infty} e^{\mu} \cdot d u=-[\phi]_{0}^{2 \pi} \cdot\left[e^{-\frac{\infty}{2}}-e^{-0}\right] \\ =+2 \pi \\ \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Habe ich hier richtig gerechnet? Bei den Grenzen war ich mir nicht sicher, ich muss schon 0 und unendlich als Grenze einsetzen, oder? Muss ich hier die Grenze unterteilen, da das Integral ja von 0 bis unendlich geht? Oder kann ich das so stehen lassen ?

Comments

Sieht gut aus. Das Ergebnis ist richtig.

Nur das einsetzen von \(\infty\) in die Funktion ist etwas "unüblich" aber solang man weiß, was man tut, ist auch das ok.

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Alles klar, aber muss man das Integral irgendwie nicht unterteilen? Von 0 bis unendlich, also so: 0 bis b (b strebt gegen unendlich)

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Grundsätzlich bedeutet

\(\int_0^{\infty} f(t)\; dt = \lim_{b\to\infty}\int_0^bf(t)\;dt\)

Das ist wohl das, was du mit dem Unterteilen des Integrals meinst.

Übrigens, deine Substitution sieht wie \(u=-\frac{r^2}2\) aus, denn du bekommst ein Minuszeichen vor dem Integral. Dann hat aber die obere Grenze des Integrals ebenfalls ein Vorzeichen. Also insgesamt:

\(\int_0^{\infty} e^{-\frac{r^2}2}r\;dr \stackrel{u=-\frac{r^2}2}{=} -\int_0^{-\infty}e^u\;du =-(0-1)=1\)

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Danke dir für die Erklärung!

Und ja genau das meinte ich mit der Unterteilung. Die muss ich nicht machen, oder?

Und das mit dem Vorzeichen habe ich noch nicht gecheckt, warum kommt da ein -∞ ?

Muss man hier dann nicht einfach die obere und untere Grenze vertauschen, dann verschwindet ja das Minuszeichen?

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Du musst die Grenzen immer gemäß deiner Substitution anpassen. Was wird denn aus \(r= \infty\), wenn du es in \(u=-\frac {r^2}2\) einsetzt? Offenbar \(u =-\infty\).

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Achsooo, stimmt.

Aber ich hab ja dann rücksubstituiert, deswegen hatte ich die Grenzen nicht angepasst. Ich dachte man muss die Grenzen nicht anpassen, da ich ja statt u wieder -\( \frac{r^2}{2} \) eingesetzt hatte.

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Das ändert aber nichts daran, dass die Grenzen beim Integral bzgl. der Variablen u auch zu u gehören müssen.

Wenn du auf diese Weise rechnest, wirst du früher oder später Fehler machen. Vor allem wenn mehrere Substitutionen hintereinander erforderlich sind.

Fakt ist, dass die Gleichung \(\int_0^{\infty}e^u\;du = e^{-\frac{\infty}2}-e^{-0}\) mathematisch falsch ist.

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Alles klar, ich muss dann die Grenzen immer anpassen. Vielen Dank für die Erklärung!

Answer 1

Ich denke das ist ok