Aloha :)
Die Kosten \(€(k;\ell)\) sollen unter einer konstanten Nebenbedingung \(F(k;\ell)=\text{const}\) optimiert werden:$$€(k;\ell)=33k+30\ell\quad;\quad F(k;\ell)=k\ell^2\stackrel!=490$$
Nach Lagrange muss im Optimum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, heißt das:$$\operatorname{grad}\varepsilon(k;\ell)\stackrel!=\lambda\operatorname{grad}F(k;\ell)\implies\binom{33}{30}=\lambda\binom{\ell^2}{2k\ell}$$
Der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) stört hier zunächst bei der Lösung. Daher dividieren wir die Gleichung für die erste Komponente durch die Gleichung für die zweite Komponente:$$\frac{33}{30}=\frac{\lambda\,\ell^2}{\lambda\,2k\ell}=\frac{\ell}{2k}\implies\pink{\ell=\frac{33}{15}\,k}$$
Damit ist das Problem gelöst und wir können alle Fragen beantworten.
a. Wie hoch ist das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis \( \frac{K}{L} \) der beiden Produktionsfaktoren?
Stelle die pinke Gleichung um:\(\quad\frac k\ell=\frac{15}{33}=0,\overline{45}\)
b. Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Arbeit in dem Kostenminimum?
Wir stellen die pinke Gleichung nach \(k\) um:\(\quad k=\frac{15}{33}\,\ell\)
und setzen dies in die konstante Nebenbedingung ein:$$490=k\ell^2=\frac{15}{33}\ell^3\implies\ell^3=490\cdot\frac{33}{15}=1078\implies\ell=\sqrt[3]{1078}\approx10,2535$$
c. Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in dem Kostenminimum?
Da wir nun \(\ell\) schon kennen, erhalten wir \(k\) direkt aus der konstanten Nebenbedingung:$$k=\frac{490}{\ell^2}=\frac{490}{(\sqrt[3]{1078})^2}\approx4,6607$$
d. Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator \( \lambda \) im Kostenminimum?
Zur Bestimmung von \(\lambda\) wählen wir aus der Gradientengleichung die erste Komponente:$$33=\lambda\cdot\ell^2\implies\lambda=\frac{33}{\ell^2}\approx0,3139$$
e. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?
Setze die Werte für \(k\) und \(\ell\) in die Kostenfunktion ein:$$€_{\text{min}}=461,41$$
