Produktionskostenfunktion richtig minimiert?

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion $F(K, L)$ in Abhängigkeit von Kapital $(K)$ und Arbeit $(L)$ auf

$F(K, L)=K L^{2} \text {. }$
Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt $p_{K}=33$ und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt $p_{L}=30$. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 490 ME produziert werden soll.
a. Wie hoch ist das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis $\frac{K}{L}$ der beiden Produktionsfaktoren?
b. Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Arbeit in dem Kostenminimum?
c. Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in dem Kostenminimum?
d. Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator $\lambda$ im Kostenminimum?
e. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Problem/Ansatz:

hallo, ich habe da folgende Ergebnisse bekommen, könnte jemand kontrollieren ob das richtig ist?

a) 0.9090911857

b) 23.21637

c) 21.10579733

d) 1.421410841

e)1392.982412

danke im Voraus

Answer 1

kontrollieren ob das richtig ist?

Es ist nicht richtig.

Das kannst Du aber auch selber merken: Wenn man KL² mit Deinem Ergebnis ausrechnet, gibt das nicht die geforderten 490.

Answer 2

Aloha :)

Die Kosten $€(k;\ell)$ sollen unter einer konstanten Nebenbedingung $F(k;\ell)=\text{const}$ optimiert werden:$$€(k;\ell)=33k+30\ell\quad;\quad F(k;\ell)=k\ell^2\stackrel!=490$$

Nach Lagrange muss im Optimum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, heißt das:$$\operatorname{grad}\varepsilon(k;\ell)\stackrel!=\lambda\operatorname{grad}F(k;\ell)\implies\binom{33}{30}=\lambda\binom{\ell^2}{2k\ell}$$

Der Lagrange-Multiplikator $\lambda$ stört hier zunächst bei der Lösung. Daher dividieren wir die Gleichung für die erste Komponente durch die Gleichung für die zweite Komponente:$$\frac{33}{30}=\frac{\lambda\,\ell^2}{\lambda\,2k\ell}=\frac{\ell}{2k}\implies\pink{\ell=\frac{33}{15}\,k}$$

Damit ist das Problem gelöst und wir können alle Fragen beantworten.

a. Wie hoch ist das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis $\frac{K}{L}$ der beiden Produktionsfaktoren?

Stelle die pinke Gleichung um:$\quad\frac k\ell=\frac{15}{33}=0,\overline{45}$

b. Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Arbeit in dem Kostenminimum?

Wir stellen die pinke Gleichung nach $k$ um:$\quad k=\frac{15}{33}\,\ell$

und setzen dies in die konstante Nebenbedingung ein:$$490=k\ell^2=\frac{15}{33}\ell^3\implies\ell^3=490\cdot\frac{33}{15}=1078\implies\ell=\sqrt[3]{1078}\approx10,2535$$

c. Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in dem Kostenminimum?

Da wir nun $\ell$ schon kennen, erhalten wir $k$ direkt aus der konstanten Nebenbedingung:$$k=\frac{490}{\ell^2}=\frac{490}{(\sqrt[3]{1078})^2}\approx4,6607$$

d. Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator $\lambda$ im Kostenminimum?

Zur Bestimmung von $\lambda$ wählen wir aus der Gradientengleichung die erste Komponente:$$33=\lambda\cdot\ell^2\implies\lambda=\frac{33}{\ell^2}\approx0,3139$$

e. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Setze die Werte für $k$ und $\ell$ in die Kostenfunktion ein:$$€_{\text{min}}=461,41$$

Comments

Vielen Dank :)

---

Text erkannt:

Ein Monopolunternehmen bietet zwei Güter zu den Preisen $p_{1}$ und $p_{2}$ an. Die Nachfrage wird durch die Nachfragefunktionen
$\begin{array}{ll} q_{1}= & D_{1}\left(p_{1}, p_{2}\right)=152-2 p_{1}+2 p_{2} \\ q_{2}= & D_{2}\left(p_{1}, p_{2}\right)=179+2 p_{1}-5 p_{2} \end{array}$
bestimmt. Die Herstellungskosten für die beiden Güter betragen $3 \mathrm{GE}$ und $3 \mathrm{GE}$ pro Stück.
a. Wie muss der Preis $p_{1}$ festgesetzt werden, so dass maximaler Gewinn erzielt wird?
b. Wie muss der Preis $p_{2}$ festgesetzt werden, so dass maximaler Gewinn erzielt wird?
c. Wie lautet das Element links oben in der Hessematrix der Gewinnfunktion?
d. Welchen Wert nimmt die Determinante der Hessematrix der Gewinnfunktion an?
e.1. Die Gewinnfunktion ist konkav.
e.2. Die Gewinnfunktion ist konvex.
e.3. Die Gewinnfunktion ist weder konvex noch konkav.
f. Welche Menge $\boldsymbol{q}_{1}$ lässt sich im Gewinnmaximum absetzen?
g. Welche Menge $q_{2}$ lässt sich im Gewinnmaximum absetzen?
h. Welcher Gewinn kann maximal erzielt werden?
i. Welche Kosten fallen im Gewinnmaximum an?

Können Sie vielleicht hier auch kontrollieren?

a) 94,67

b) 56,67

c) -4

d) 24,00

e) konkav

f) 11528,33

g) 76,00

h) 85,00

i) 483,00

wäre sehr Dankbar