Berechnen Sie die Varianz

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie für die Rechteckverteilung R(a,b) mit Träger T_x = [a,b] und der Dichte

f(x) = { \( \frac{1}{b-a} \), für x ∈ [a,b]

       { sonst

dass die Varianz Var(X) = \( \frac{(b-a)^2}{12} \) lautet. Der Erwartungswert ist als \( \frac{a+b}{2} \) gegeben.

Hinweis: (\( b^{3} \) -  \( a^{3} \) ) =(b-a) \( b^{2} \)  +ab+ \( a^{2} \) )

Ich komme bei dieser Aufgabe leider nichtweiter,  kann mir jemand helfen?

Answer 1

(a) Erwartungswert

$$ E = \frac{1}{b-a} \int_a^b x dx = \frac{1}{b-a} (b^2 - a^2) = \frac{a+b}{2} $$

(b) Varianz

$$ V = E(x^2) - E^2(x) = \frac{1}{b-a} \int_a^b x^2 dx - \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{1}{3} \frac{1}{a-b} (b^3 - a^3) - \frac{(a+b)^2}{4}  = \\ \frac{1}{3} (b^2 + ab + a^2) - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} = \frac{(b-a)^2}{12} $$