Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X auf?

Question

Aufgabe:

Ein Tontaubenschütze schießt solange, bis er eine Tontaube getroffen hat, maximal jedoch sechs- mal. Er trifft pro Schuss mit einer Wahrschein- lichkeit von 50%. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl seiner Schüsse.

a) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X auf?

b) Wie groß ist der Erwartungswert von X?

c) Wie groß ist der Erwartungswert von X, wenn die Treffersicherheit des Schützen nur 25% beträgt?

Problem/Ansatz:

Verstehe Stochastik noch nicht so gut

Answer 1

a) X ist binomialverteilt.

Treffer im 1. oder 2. ... oder 6. Versuch.

b) 0,5+0,5^2+0,5^3+0,5^4+0,5^5+0,05^6 = 0,5*(0,5^6-1)/(1-0,5) = 0,9844

c) 0,25+0,75*0,25+0,75^2*0,25+...0,75^5*0,25

Comments

X ist binomialverteilt. Unsinn.

0,9844  Glaubst du denn im Ernst, dass er treffen kann ohne einen Schuss abgegeben zu haben ?

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Na, da ist ja wieder hj2166 wie wir ihn alle kennen: Unhöflich und nur mit Kritik.

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Das stimmt.

Allerdings haut ggt seine Antworten hier auch mit so einer hohen Schlagzahl raus, das man den Eindruck haben kann die Quantität stehe hier eher im Vordergrund und nicht die Qualität.

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Ja, es ist ganz schlimm, wenn man so etwas als Antwort bekommt.

Das nenne ich blanken Zynismus.

Mir sind solche Menschen ein Rätsel.

Man kann nur spekulieren, welchen Charakter sie haben.

Andererseits muss man überall mit Misanthropen rechnen.

Die Welt ist voll von Gehässigkeit und Unfreundlichkeit.

Seit ich hier mitmache, fällt mir diese Person immer wieder

negativ auf.

Kein anderer verhält sich so wie sie.

Gott sei Dank.

Man könnte fast glauben, sein Hauptziel ist es , anderen den Tag zu vermiesen.

Ich frage mich, warum der Betreiber nicht handelt, wenn dieses

Verhalten immer wieder moniert wird.

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@ggT22: hj2166 hatte sich für eine kurze Zeit etwas gemäßigt. Aber damit ist jetzt wohl Schluss. Zur Analyse der Psyche von hj2166: Er ist überdurchschnittlich intelligent und möchte, dass das jeder spürt - auch und gerade, wenn es wehtut. Wer sich im Netz zu irgendetwas äußern möchte, muss bereit sein, einiges einzustecken. Das ist in der mathelounge nicht anders als in den sozialen Medien.

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Er ist überdurchschnittlich intelligent

Dafür hat er offenbar wenig bis keine emotionale Intelligenz.

Vlt. sollte er statt Mathebüchern auch mal so etwas lesen:

https://www.buecher.de/shop/buecher/emotionale-intelligenz-2-0/bradberry-travisgreaves-jean/products_products/detail/prod_id/44339798/

https://de.wikipedia.org/wiki/Emotionale_Intelligenz

Viele hochintelligente Menschen sind emotionale Krüppel.

Dazu könnte auch diese Person gehören.

Ich erinnere mich noch an Mathe-Lehrer, die sich so verhielten wie sie.

Leider gab es sie auch in anderen Fächer.

Es waren eher Anti-Pädagogen als Begeisterung weckende

oder gar Freude aufkommend lassende Lehrkräfte,

Beamte, die ihre Pflicht erfüllten, aber nichts darüberhinaus.

Man ist ja schließlich unkündbar, wenn man kein Silbergeschirr stiehlt.

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Wegen der Schulplicht muss man zur Schule gehen - egal, wie nett die Lehrer sind. Zum Glück gibt es keine mathelounge-Pflicht.

Answer 2

Aloha :)

Der Schütze trifft mit der Wahrscheinlichkeit \(\green{\frac12}\) und verfehlt mit der Wahrscheinlichkeit \(\red{\frac12}\).

Teil a)

Der Schütze braucht genau 1 Versuch, wenn er beim 1-ten mal trifft:$$p(X=1)=\green{\frac12}$$Er braucht genau 2 Versuche, wenn er beim 1-ten mal verfehlt und beim 2-ten mal trifft:$$p(X=2)=\red{\frac12}\cdot\green{\frac12}=\frac14$$Er braucht genau 3 Versuche, wenn Versuch 1 und 2 fehlschlagen und der 3-te trifft:$$p(X=3)=\red{\frac12}\cdot\red{\frac12}\cdot\green{\frac12}=\frac18$$Es ist klar, wie das weitergeht:$$p(X=4)=\red{\frac12}\cdot\red{\frac12}\cdot\red{\frac12}\cdot\green{\frac12}=\frac{1}{16}$$$$p(X=5)=\red{\frac12}\cdot\red{\frac12}\cdot\red{\frac12}\cdot\red{\frac12}\cdot\green{\frac12}=\frac{1}{32}$$Zum 6-ten und letzten Versuch kommt der Schütze nur genau dann, wenn er vorher 5 Fehlversuche hat. Ob der 6-te Versuch ein Treffer ist oder nicht, ist egal, weil es keinen weiteren Versuch mehr gibt.$$p(X=6)=\red{\frac12}\cdot\red{\frac12}\cdot\red{\frac12}\cdot\red{\frac12}\cdot\red{\frac12}\cdot\left(\green{\frac12}+\red{\frac12}\right)=\frac{1}{32}$$

Teil b)

Der Erwartungswert für die Anzahl \(X\) der Versuche beträgt:$$\left<X\right>=\sum\limits_{k=1}^6 x_k\cdot p(X=x_k)$$$$\phantom{\left<X\right>}=1\cdot\frac12+2\cdot\frac14+3\cdot\frac18+4\cdot\frac{1}{16}+5\cdot\frac{1}{32}+6\cdot\frac{1}{32}=\frac{63}{32}\approx1,97$$

Teil c)

Bei dem neuen Schützen haben wir Treffer mit \(\green{\frac14}\) und Fehlversuche mit \(\red{\frac34}\) Wahrscheinlichkeit. Nach derselben Rechnung wie bei Teil a), erhalten wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung:$$\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c}x_i= & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\hline\\[-2ex] p(X=x_i) & \green{\frac14} & \red{\frac34}\cdot\green{\frac14} & \red{\left(\frac34\right)^2}\cdot\green{\frac14} & \red{\left(\frac34\right)^3}\cdot\green{\frac14} & \red{\left(\frac34\right)^4}\cdot\green{\frac14} & \red{\left(\frac34\right)^5}\\[1ex]\hline\\[-2ex] p(X=x_i) & \frac14 & \frac{3}{16} & \frac{9}{64} & \frac{27}{256} & \frac{81}{1024} & \frac{243}{1024}\end{array}$$

Die Anzahl der Versuche hat nun den Erwartungswert (dieselbe Rechnung wie bei Teil b):$$\left<X\right>=\frac{3367}{1024}\approx3,29$$