Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl ungerade ist?

Question

Aufgabe:

Eine diskrete Zufallsvariable X definiert auf Ω = NatürlicheZahlen, mit Wahrscheinlichkeitsfunktion $$p_k = (1-p)^{k-1} * p$$ heißt geometrisch verteilt mit Parameter 0 < p < 1.

Eine Zahl wird gemäß der geometrischen Verteilung erzeugt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl ungerade ist?

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz soweit:

$$p * \sum \limits_{k=1}^{\infty} (1-p)^{2(k-1)+1} $$

Das habe ich nun soweit umgestellt zu

$$p * \sum \limits_{k=1}^{\infty} ((1-p)^2)^k$$

Nun könnte man das glaube ich mit der geometrischen Reihe auflösen.

EDIT. ... Oder auch nicht wie mir gerade auffällt.. Da k ja nicht bei 0 anfängt..

Oder ist der Ansatz schon falsch?

Comments

Niemand eine Idee? :(

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Niemand eine Idee?

Deine eigene Idee war doch völlig richtig, in der Ausführung aber leicht fehlerhaft : du solltest für ungerade Zahlen k im Exponenten (2n+1) - 1 schreiben und die Summe von n=0 ab laufen lassen.

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Falls du aber eine ganz andere Idee bevorzugst, kannst du folgendermaßen vorgehen (dann benötigt man keine geometrische Reihe) :

Das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten P(X=8) : P(X=7) ist dasselbe wie das Verhältnis P(X=2) : P(X=1) oder das Verhältnis P(X=25994) : P(25993), nämlich für alle natürlichen Zahlen m immer
\(P(X=2m) \;:\; P(X=2m-1) = \frac{(1-p)^{2m-1}·p}{(1-p)^{2m-2}·p}=1-p\) und das ist damit auch das Verhältnis gerader zu ungerader Zahlen insgesamt : P(X ist gerade) : P(X ist ungerade) = 1-p. Außerdem ist jede natürliche Zahl entweder gerade oder ungerade, so dass P(X ist gerade) + P(X ist ungerade) = 1 gelten muss und beide Gleichungen zusammen liefern P(X ist ungerade) = 1 / (2-p) .

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Ja prima dann war ich ja nah dran. Das Rechne ich gleich nochmal durch.

Deinen anderen Lösungsweg muss ich mir nochmal durch den Kopf gehen lassen. Aber mit dem kann ich dann ja schonmal mein Ergebnis abgleichen :)

Vielen Dank!

Answer 1

Wie Gast hj2166 schon im Kommentar erwähnt hat: Deine Idee war völlig korrekt.

Hier nochmal Schritt für Schritt:

\(P(X=k) = p(1-p)^{k-1}\) für natürliches \( k\geq 1\)

Die ungeraden natürlichen Zahlen parametrisieren wir durch

\(k=2n-1\) mit \(n\geq 1\).

Damit folgt

\(P(X \text{ungerade}) =\sum_{n=1}^{\infty}p(1-p)^{\color{blue}{(2n-1)-1}}\)

\(= p\sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{2(n-1)}\)

\(\stackrel{i=n-1}{=} p\sum_{i=0}^{\infty}(1-p)^{2i}\)

\(= \frac p{1 - (1-p)^2} = \boxed{\frac 1{2-p}}\)

Comments

Eben erst gesehen. Danke Dir!

Das Ergebnis hab ich mir mal notiert und werde jetzt erstmal selbst versuchen meine Zahlen so zu schuppsen, damit ich aufs gleiche komme :)

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Soo. Okay ich glaub ich habs verstanden. Um auf die ungeraden Zahen zu kommen ist nur der Ausdruck (2k-1) wichtig. Die andere -1 beachtet man in dem Zusammenhang also gar nicht, die ist einfach nach wie vor Teil der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Richtig?

Oder anders ausgedrückt: Man setzt dann die (2k-1) einfach für k ein.

Glaube hier war mein Denkfehler, dass ich dachte, der gesamte Exponet müsste die ungeraden Zahlen abbilden.

So gerechnet komm ich aufjedenfall zum gleichen Ergebnis. :)

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Richtig! Du ersetzt das "alte" k durch das "neue" 2k-1. Besser ist aber, eine andere Variable zu benutzen, um eben "Verwirrung" zu vermeiden.

Du hast richtig erkannt, dass die -1 im Exponenten bei (1-p) zur Wahrscheinlichkeitsverteilung gehört.

Mathe ist eben einfacher als man sie sich manchmal komplizierter zurecht denkt :-).

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Ich sehe schon :)

Eine Nachfrage hätte ich noch (oder soll ich die in einem anderen Thread stellen?):

In der nächsten Aufgabe heißt es:

Sei (Ω, (ω), P) der Wahrscheinlichkeitsraum, wobei das Wahrscheinlichkeitsmaß P durch obige Zähldichte festgelegt ist. berechnen sie die Wahrscheinlichkeit P(a) von a, wobei a = {k ∈ N | k ist ungerade} die menge der ungeraden natürlichen zahlen ist.

Ist das nicht genau das gleiche? Abgesehen davon, dass hier die Funktion nun als Zähldichte bezeichnet wird?

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Sieht so aus. Aber ich müsste die komplette Aufgabe sehen, um sicher zu sein.

Also besser eine neue Frage stellen und komplette Info geben.

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Das ist tatsächlich die komplette Aufgabe.. ^^

Hat unser Prof. wohl gepennt.

Ich geb mich also für den Moment mit meinem bisherigen Erkenntnisgewinn zufrieden. :)

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Erkenntnisgewinn! Potztausend! Das klingt doch gut. :-D

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Jawoll! :D

So. Dann kann hier dicht gemacht werden.

Schade dass man nur ein Sternchen vergeben kann, Gasthj2166  hätt ich nun auch noch gern einsgegeben.