Wie muss der Parameter t gegeben sein, damit a,b,c komplanar sind?

Question

Aufgabe:

Wie muss der Parameter t gegeben sein, damit a,b,c komplanar sind?

a(2,4,3)

b(1-t,2,1)

c(8,-2,t)

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht auf die Lösung. Ich weiß dass ich es durch determinaten rechnen kann, oder mit einem gleichungssystem. Es funktioniert bei mir aber nicht.

Comments

Sie müssen in derselben Ebene liegen,

Stelle die Ebenengleichung auf.

https://de.serlo.org/mathe/2069/ebene-aus-drei-punkten

Answer 1

Du hattest auch die Determinante in deiner Frage erwähnt.

Die drei Punkte sind komplanar genau dann, wenn die zugehörigen Ortsvektoren kein Volumen aufspannen. Das ist gleichbedeutend damit, dass die zugehörige Determinante ihrer Koordinaten gleich Null ist:

\(\det \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 1-t & 2 & 1 \\ 8 & -2 & t \end{pmatrix} = 4t^2+6t-18 \stackrel{!}{=} 0\)

(Berechnung hier.)

Jetzt löst du die quadratische Gleichung:

\(\Rightarrow t=-3,\; t=\frac 32\)

(Berechnung hier.)