Wie bestimme ich alle Intervalle der Ungleichung?

Question

Aufgabe: Gesucht sind die Intervalle der folgenden Ungleichung:
5/5x-1<2/2x+1

Problem/Ansatz: Habe die Brüche umgeformt und per quadratischer Ergänzung das Intervall (-1/2<x<1/5) erhalten. Nun müsste es aber mindestens 1 weiteres Intervall geben. Kann mir jemand zeigen, wie ich die Fallunterscheidung anwenden und weiter verfahren muss? In der Vorlesung wurde alles mit simplen Beispielen gezeigt, da schien es mir klarer.

Comments

Edit: 5/(5x-1) < 2/(2x+1)

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Alternative Lösung ohne Fallunterscheidung mittels Bildung des Hauptnenners:$$\frac5{5x-1}<\frac2{2x+1}\iff\frac{5(2x+1)-2(5x-1)}{(5x-1)(2x+1)}<0\iff\big(x-\tfrac15\big)\big(x+\tfrac12\big)<0.$$

Answer 1

Die übrigen beiden Intervalle sind die, die nicht zu deinem schon gefundenen Intervall gehören.

Answer 2

Vielleicht sollte wir erst mal klären wie Ungleichung genau aussieht.

$$ \frac {5}{5x} - 1 < \frac{2}{2x} + 1 $$ und auch $$ \frac{5}{5}x - 1 < \frac{2}{2}x +1 $$ macht ja keinen Sinn bzw. ist für alle \( x \in \mathbb{R} \) erfüllt.

Comments

Mein Fehler, habe die Klammern vergessen. Die Terme 5x-1 und 2x+1 stehen natürlich jeweils komplett unterm Bruchstrich.

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Du kannst die folgenden Fälle unterscheiden

1. Fall

\( x < -\frac{1}{2} \)

2. Fall

\( x \in \left( -\frac{1}{2} , \frac{1}{5} \right) \)

3. Fall

\( x > \frac{1}{5} \)

Für die Fälle (1.) und (2.) sind die Lösungsmengen jeweil leer. Im Fall (2.) ergibt die Ungleichung \( 5 > -2 \) also ist sie erfüllt für das ganze Intervall \( \left( -\frac{1}{2} , \frac{1}{5} \right) \)

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Achso, im Prinzip liefert hier die quadratische Ergänzung also die "Lösung" bereits in kompakter Form. Vielen dank für die ausführliche Antwort!