Aloha :)
Wir betrachten die beiden Fälle \(x>0\) und \(x<0\).
1. Fall: \(x>0\)$$\left.\left|\frac{1}{2x}\right|+\frac1x\ge2x\quad\right|\text{Betragsstriche "auflösen"}$$$$\left.\frac{1}{2x}+\frac1x\ge2x\quad\right|\cdot2x$$$$\left.1+2\ge4x^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\sqrt3\ge2|x|\quad\right|\colon2$$$$\left.|x|\le\frac{\sqrt3}{2}\quad\right.$$Wegen \(x>0\) haben wir für diesen Fall die Lösungen:$$0<x\le\frac{\sqrt3}{2}$$
2. Fall: \(x<0\)$$\left.\left|\frac{1}{2x}\right|+\frac1x\ge2x\quad\right|\text{Betragsstriche "auflösen"}$$$$\left.-\frac{1}{2x}+\frac1x\ge2x\quad\right|\cdot2x$$$$\left.-1+2\le4x^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\sqrt1\le2|x|\quad\right|\colon2$$$$\left.|x|\ge\frac{\sqrt1}{2}\quad\right.$$Wegen \(x<0\) haben wir für diesen Fall die Lösungen:$$x\le-\frac12$$
Zusammengefasst zur Gesamtlösung:$$x\in\left(-\infty\bigg|-\frac12\right]\cup\left(0\bigg|\frac{\sqrt3}{2}\right]$$
~plot~ abs(1/(2x))+1/x ; 2x ; x=-1/2 ; x=3^(1/2)/2 ; [[-4|4|-6|6]] ~plot~
