Differentialgleichung Stabilität und asymptotische Stabilität

Question

Aufgabe:

Betrachten sie die beiden Anfangswertprobleme (i) und (ii)

(i) \( y^{\prime}(t)=y(t)(\sin (t)-1), y(0)=y_{0} \in \mathbb{R} \)

(ii) \( y^{\prime}(t)=\frac{y(t)}{t(t+1)}, \quad y(1)=y_{0} \in \mathbb{R} \)

- Sind die Gleichgewichtslösungen dieser Anfangswertprobleme jeweils stabil?
- Sind sie asymptotisch stabil? Begründen Sie lhre Antworten!

Tipp \(  zu \) (ii): Für \( t \notin\{-1,0\} \) gilt \( \frac{1}{t(t+1)}=\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1} \)

Problem:

Ich berechne hier ganz normal die DGLn und was mache ich bitteschön danach? Wie zeige ich denn Stabilität bzw. Asymptotische Stabilität?

Comments

Hallo, wenn mir hier jmd. das bitte rechnen könnte wäre das sehr sehr hilfreich für mich. Ich weiß wie man bei einem DGL-Systen vorgeht. Gleichgewichtspunkte bestimmen, Jacobi Matrix aufstellen Punkte einsetzen. Eigenwerte berechnen. Aussage Treffen etc. Wenn nur jeweils eine DGL geg. ist weiß ich es nicht ;(

Answer 1

Hallo,

\( \begin{aligned} \text { asymptotisch stabil: } & \lim \limits_{t \rightarrow \infty} y(t)=0 \\ \text { stabil: } & \lim \limits_{t \rightarrow \infty} y(t)=c, \quad c \neq 0 \text { und } c<\infty \\ \text { Instabil: } & \lim \limits_{t \rightarrow \infty} y(t)=\infty\end{aligned} \)

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Omg danke für deine Antwort. :D

Answer 2

Hallo

a) wenn das gefragt wird, wurde es in der Vorlesung behandelt.

b) sonst siehe https://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/diffgln/dgl1-08.pdf

oder andere Quellen in google

lul

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Ich bräuchte einen kleinen Ansatz bitte

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Hast du denn die Lösung? ändere die Anfangsbedingung auf y0+δ bleiben die Lösungen auch nahe aneinander, wohin gehen sie für t->oo

hier 2 Bildchen  mit verschiedenen AB an denen du das Verhalten siehst.

lul