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Aufgabe:

lim(x-->∞) \frac{2x+3\}{2x+1} \)^(x+1)=e


Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf das Ergebnis e?

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Man könnte damit anfangen, die Gleichung in lesbarer Form hinzuschreiben.


limx(2x+32x+1)x+1=e\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x+3}{2 x+1}\right)^{x+1}=e

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Hallo :-)

Es gilt zunächst

2x+32x+1=(2x+1)+22x+1=1+22x+1=1+12212(2x+1)=1+1x+12 \frac{2x+3}{2x+1}=\frac{(2x+1)+2}{2x+1}=1+\frac{2}{2x+1}=1+\frac{\frac{1}{2}\cdot 2}{\frac{1}{2}\cdot (2x+1)}=1+\frac{1}{x+\frac{1}{2}}

Setze nun t=x+12t=x+\frac{1}{2}. Dann ist x=t12x=t-\frac{1}{2} und betrachte den Exponenten x+1=t12+1=t+12x+1=t-\frac{1}{2}+1=t+\frac{1}{2}.

Dann ist

limx(2x+32x+1)x+1=limx(1+1x+12)x+1=limt(1+1t)t+12=limt(1+1t)t(1+1t)12.\lim\limits_{x\to \infty} \left (\frac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}=\lim\limits_{x\to \infty} \left (1+\frac{1}{x+\frac{1}{2}}\right)^{x+1}=\lim\limits_{t\to \infty} \left (1+\frac{1}{t}\right)^{t+\frac{1}{2}}=\lim\limits_{t\to \infty} \left (1+\frac{1}{t}\right)^t\cdot \left (1+\frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{2}}.

Es gilt weiter limt(1+1t)t=e\lim\limits_{t\to \infty} \left (1+\frac{1}{t}\right)^t=e sowie limt(1+1t)12=1\lim\limits_{t\to \infty} \left (1+\frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{2}}=1.

Insgesamt erhält man limx(2x+32x+1)x+1=limt(1+1t)t(1+1t)12=e1=e \lim\limits_{x\to \infty} \left (\frac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}=\lim\limits_{t\to \infty} \left (1+\frac{1}{t}\right)^t\cdot \left (1+\frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{2}}=e\cdot 1=e

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Kennst du e als Grenzwert von (1+1x)x (1+\frac{1}{x})^x ?


Der Bruch  2x+32x+1\frac{2x+3}{2x+1} lässt sich schreiben als 1+22x+1=1+1x+0,51+\frac{2}{2x+1} =1+\frac{1}{x+0,5}

Dann konvergiert   (2x+32x+1)x+0,5=(1+1x+0,5)x+0,5(\frac{2x+3}{2x+1} )^{x+0,5}=(1+\frac{1}{x+0,5})^{x+0,5} ebenfalls gegen e.

Nun ist   (1+1x+0,5)x+1=(1+1x+0,5)x+0,5(1+1x+0,5)0,5(1+\frac{1}{x+0,5})^{x+1}=(1+\frac{1}{x+0,5})^{x+0,5}\cdot (1+\frac{1}{x+0,5})^{0,5}, aber der letzte Faktor geht gegen 1.

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