Wie kommt man auf das Ergebnis e?

Question

Aufgabe:

lim(x-->∞) \frac{2x+3\}{2x+1} \)^(x+1)=e

Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf das Ergebnis e?

Comments

Man könnte damit anfangen, die Gleichung in lesbarer Form hinzuschreiben.

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x+3}{2 x+1}\right)^{x+1}=e$

Answer 1

Hallo :-)

Es gilt zunächst

$$\frac{2x+3}{2x+1}=\frac{(2x+1)+2}{2x+1}=1+\frac{2}{2x+1}=1+\frac{\frac{1}{2}\cdot 2}{\frac{1}{2}\cdot (2x+1)}=1+\frac{1}{x+\frac{1}{2}}$$

Setze nun $t=x+\frac{1}{2}$. Dann ist $x=t-\frac{1}{2}$ und betrachte den Exponenten $x+1=t-\frac{1}{2}+1=t+\frac{1}{2}$.

Dann ist

$$\lim\limits_{x\to \infty} \left (\frac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}=\lim\limits_{x\to \infty} \left (1+\frac{1}{x+\frac{1}{2}}\right)^{x+1}=\lim\limits_{t\to \infty} \left (1+\frac{1}{t}\right)^{t+\frac{1}{2}}=\lim\limits_{t\to \infty} \left (1+\frac{1}{t}\right)^t\cdot \left (1+\frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{2}}.$$

Es gilt weiter $\lim\limits_{t\to \infty} \left (1+\frac{1}{t}\right)^t=e$ sowie $\lim\limits_{t\to \infty} \left (1+\frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{2}}=1$.

Insgesamt erhält man $$\lim\limits_{x\to \infty} \left (\frac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}=\lim\limits_{t\to \infty} \left (1+\frac{1}{t}\right)^t\cdot \left (1+\frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{2}}=e\cdot 1=e$$

Answer 2

Kennst du e als Grenzwert von $(1+\frac{1}{x})^x$ ?

Der Bruch  $\frac{2x+3}{2x+1}$ lässt sich schreiben als $1+\frac{2}{2x+1} =1+\frac{1}{x+0,5}$

Dann konvergiert   $(\frac{2x+3}{2x+1} )^{x+0,5}=(1+\frac{1}{x+0,5})^{x+0,5}$ ebenfalls gegen e.

Nun ist   $(1+\frac{1}{x+0,5})^{x+1}=(1+\frac{1}{x+0,5})^{x+0,5}\cdot (1+\frac{1}{x+0,5})^{0,5}$, aber der letzte Faktor geht gegen 1.