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Zeigen Sie, dass die Menge der 2x2 Matrizen der Form\( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \) mit a,b ∈ ℝ, einen Körper bilden bzgl. Addition von Matrizen und Matrixmultiplikation, d.h.

\( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} \) := \( \begin{pmatrix} a+c & b+c \\ -b-c & a+c \end{pmatrix} \)   und \( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} \) := \( \begin{pmatrix} ac - bd & ad + bc \\ -bc - ad & -bd + ac \end{pmatrix} \) .

Sie dürfen voraussetzen, dass Matrixaddition und Matrixmultiplikation assoziativ sind.

.

.

.

Wir hatten unsere Körperaxiome wie folgt definiert:

(K1)   (K,+) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element wird mit 0 bezeichnet, das inverse Element zu k ∈ K mit -k.

(K2)   (K \ {0},*) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element wird mit 1 bezeichnet und das inverse Element zu k ∈ K \ {0} mit k-1 

(K3)   Für alle k, l, m ∈ K gilt: l*(k+m) = l*k + l*m (Distributivgesetz)

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1 Antwort

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Hallo

die 0  ist mit a=b=0 und 1ist  mit  a=1,b=0 in K

abelsch mit AB=BA nachrechnen

Addition  und deren Inverses Auch A+(-A)=0 (nachrechnen)

Inverses zur Multiplikation musst du finden also A*A-1=I. Damit  und(A*(B+C)=AB+AC  hast du alles.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Erstmal Danke für deine Antwort. Aber muss ich nicht auch zeigen dass es abelsche Gruppen sind?

Hallo

ja, musst du, das hatte ich geschrieben und übersehen dass de Autokorrektur aus abwasch abwasch gemacht hatte

aber AB=BA kann man ja einfach vorrechnen.

lul

Hallo, ich stehe gerade auf dem Schlauch....

um für eine Gruppe ein neutrales Element zu finden, muss es ein e ∈ G geben so dass für alle g ∈ G gilt: e * g = g UND g * e = g.

für unser Beispiel bedeutet das:

\( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} a+0 & b+0 \\ -b+0 & a+0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \) 

Was erstmal korrekt ist.

Jetzt möchte ich aber auch zeigen, dass e * g = g ist und komme da nicht weiter:

\( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0+c & 0+c \\ -0-c & 0+c \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} c & c \\ -c & c \end{pmatrix} \)

Was ich nicht verstehe

Hallo

die 1 oder e ist die Einheitsmatrix  also 1 auf der Hauptdiagonalen 0 sonst.

du hast das additive neutrale Element 0 mit dem multiplakativen e der 1 verwechselt-

ich sehe jetzt erst dass du  nach dem = d und c verwechselt hast und wohl nicht e+g sondern 0+g meintest?

Wenn du allgemein A+B=B+A und A*B=B*A gezeigt hast musst du das für 0 und 1 bzw 0 und e nicht mehr einzeln  zeigen

lul

Wieso? Ich habe nur die Matrizen vertauscht. Es sollte aber Trotzdem gelten das A+0=A und 0+A=A. Ich habe ja oben gezeigt dass A+0=A ist. Jetzt will 0+A=A zeigen, aber komme nicht auf mein A. Ich hab doch nur die Matrizen vertauscht und meine gegebene definierte Matrixaddition angewandt

Hallo

nein sieh deine Rechnung für 0+A noch mal an, wohin verschwindet deine d rechts oben und links unten? warum schreibst du -0  (obwohl das egal ist wegen -0=0) bei der Addition?

lul

Ich weiß das mein d verschwindet. Ich habe nur meine Werte in die gegebene Definition der Matrixaddition eingesetzt.

ich kann sie hier auch gerne nochmal schreiben...:

\( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} \) := \( \begin{pmatrix} a+c & b+c \\ -b-c & a+c \end{pmatrix} \)

Hallo

dann hast du leider eine falsche Addition !  Wo hast du denn die Definition her?? Addition von Matrizen: die jeweiligen Einträge werden addiert A+B

a11+b11, a12+b12, a21+b21 a22+b22

sonst https://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenaddition

A+B=B+A gilt für ALLE Matrizen , A*B=B*A nicht für alle

Gruß lul

Aus meiner Aufgabenstellung. Ich habe die Aufgabenstellung vollständig aufgeschrieben hier. Siehe oben

Hallo

Das hatte ich übersehen , damit ist aber ausgeschlossen, dass A+B=B+A ist und  K+ ist nicht abelsch.

bist du ganz sicher dass diese Addition zu den Definitionen gehört?

lul

Hallo,

ich habe meine Professorin auf diesen Fehler hingewiesen, und Sie hat einen Fehler in der Aufgabenstellung gemacht. Es ist natürlich die ganz Normale Matrizenaddition gemeint, so wie sie auch auf z.B. Wikipedia zu finden ist.

Somit baut sich das Gerüst auch wieder auf, und die Kommutativität bzgl. der Addition gilt.

Tut mir auch Leid das ich dir ein paar Nerven rauben musste damit, und ich versichere dir ihr "kleiner Tippfehler" hat mich auch fertig gemacht  

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