Zeigen Sie, dass die Menge der 2x2 Matrizen der Form\( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \) mit a,b ∈ ℝ, einen Körper bilden bzgl. Addition von Matrizen und Matrixmultiplikation, d.h.
\( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} \) := \( \begin{pmatrix} a+c & b+c \\ -b-c & a+c \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} \) := \( \begin{pmatrix} ac - bd & ad + bc \\ -bc - ad & -bd + ac \end{pmatrix} \) .
Sie dürfen voraussetzen, dass Matrixaddition und Matrixmultiplikation assoziativ sind.
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Wir hatten unsere Körperaxiome wie folgt definiert:
(K1) (K,+) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element wird mit 0 bezeichnet, das inverse Element zu k ∈ K mit -k.
(K2) (K \ {0},*) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element wird mit 1 bezeichnet und das inverse Element zu k ∈ K \ {0} mit k-1
(K3) Für alle k, l, m ∈ K gilt: l*(k+m) = l*k + l*m (Distributivgesetz)
