Zeigen, dass die Menge K = {(a b|-b a)∈ℝ^2x2|a,b∈ℝ} mit ... einen Körper bildet.

Question

Zeigen, dass die Menge K = {(a b|-b a)∈ℝ^2x2|a,b∈ℝ} mit mit der üblichen Matrix-Addition und
-Multiplikation einen Körper bildet einen Körper bildet.

Answer 1

Liste:

1.  Ring hat ein 1-Element

2.   multiplikation ist kommutativ


3. alles ausser 0 hat ein multiplikatives Inverses.


Nachweis:   1-Element ist

1  0
0  1

und gehört nach Def. zu K ( a=1 b=0 )kommutativ :

a    b      *     c    d     =  ac-bd     ad+bc
-b   a            -d    c        -ad-bc    ac-bd

und umgekehrt gibt es das gleiche.

Inverses ist immer (außer a=0 n=0 ,

da braucht es auch keins zu geben )

a/(a²+b²)          -b/(a²+b²)
b/(a²+b²)          a/(a²+b²)

und ist also auch in K.

Comments

Wie berechnet man das Inverse (dürfen die explizite Formel nicht verwenden)

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Setze einfach deine Matrix und die
Einheitsmatrix nebeneinander

a   b         1  0
-b  a         0  1  

und dann Zeilenumformungen machen,
bis es umgekehrt ist

1    0       a/(a²+b²)          -b/(a²+b²)
0    1       b/(a²+b²)           a/(a²+b²)

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Wie macht man diese Zeilenumformung?

Könntest du das mir bitte vorrechnen... komme nicht weiter.

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z.B. die erste Zeile mal b und die 2. mal a gibt

ab     b*b         b   0
-b*a  a*a          0  a

dann 1. und zweite addieren gibt   


ab     b*b              b   0 
  0    a²+b²          b    a   

dann die zweite durch   a²+b²         etc.