Substitutionsverfahren. Nullstellen von y = x^6-14x^4+49x^2-36?

Question

Folgende Aufgabe:

x^6-14x^4+49x^2-36

Berechnen Sie die Nullstellen.

Wie muss ich hier korrekt substituieren?

x^2=z wäre x^3-14x^2+49x-36 ist mein Ansatz und dann mit Polynomdivision und anschließend PQ-Formel weiter, allerdings liefert mir das falsche Ergebnisse. Ich muss hier also falsch substituiert haben, weil ich in den anderen Verfahren sehr sicher bin.

Wo liegt hier mein Denkfehler?

(Newton ist nicht erlaubt)

Comments

x²=z wäre x³-14x²+49x-36

besser

z³ - 14z² + 49z - 36

Ob dadurch bei dir irgendwo ein Fehler
entstanden ist kann ich nicht sagen.
Ansonsten siehe Wolfgangs Antwort.

Answer 1

Hi,

Du hast die richtigen Ansätze vorgebracht.

Du solltest mit der substituierten Gleichung auf die Ergebnisse z_(1) = 1, z_(2) = 4 und z_(3) = 9 kommen (über die von Dir genannten Verfahren).

Dann musst Du noch zurücksubstituieren, also x^2 = z_(i) auflösen.

Das führt auf x_(1,2) = ±1, x_(3,4) = ±2 und x_(5,6) = ±3

Grüße

Answer 2

deine Substitution ist richtig  

z³ - 14·z² + 49·z - 36 = 0  hat die Lösung z = 1

(z³ - 14·z² + 49·z - 36) : (z-1) = z² - 13·z + 36   =  (z - 4)·(z - 9)

....

→  z³ - 14·z² + 49·z - 36 = (z - 1)·(z - 4)·(z - 9)

....

→    x⁶ - 14·x⁴ + 49·x² - 36  =  (x + 1)·(x - 1)·(x + 2)·(x - 2)·(x + 3)·(x - 3)  

_{Gruß Wolfgang}