Die komplex konjugierte Zahl und Polynome

Question

Aufgabe:

1. Sei z ∈ ℂ. Zeigen Sie, dass g(X) := (X − z)(X − z) nach dem Ausmultiplizieren ein
Polynom in ℝ[X] liefert.

z = die komplex konjugierte Zahl  

2. Zeigen Sie, dass es normierte Polynome f₁(X), . . . , f_r(X) ∈ ℝ[X] vom Grad ≤ 2
und eine Konstante c ∈ ℝ gibt mit f(X) = c · f₁(X)· · · f_r(X).

Normierung (also vertikale Streckung oder Stauchung, gegebenenfalls zusätzlich noch Spiegelung an der x-Achse) erhält man ein normiertes Polynom.
Problem/Ansatz:

Hallo bei der 1. Hätte ich jetzt das Ausmultiplizieren erst mal versucht und dabei: x² -xz-xz+⌊z⌋²    herausbekommen weiß aber nicht in wie weit mich das mit dem Beweis, dass es ein Polynom ist weiter bringt.

Die 2 verstehe ich fast gar nicht und wäre über Hilfe froh. ( heist ≤2 sows wie x³

?

Answer 1

Hallo klammer x aus und was ist x*(z+z)

zu 2: erstmal r=2 schreib 2 normierte Polynoms hin

<= 2 heisst fi=x^2+ax+b schon normiert.

lul

Comments

Was bringt mir dann das ausklammern

-x*(x+z+z) + ⌊z⌋²

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Bin immer noch verwirrt und offen für Hilfe;-)

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Hallo

x^2+x(z+z)+|z|^2

jetzt überlege was z+z ist  wenn du es nicht weisst z=a+ib benutzen.

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2a?

da z =a+ib und z =a-ib

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Hallo,

ja oder mans chreibt Re(z)

lul

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okay also habe ich dann: x^2+x(Re(z)) +|z|^2 in wie weit ist das ein polynom in R?

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Hallo

da sind doch nur reelle Koeffizienten!

lul

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Ich verstehe es nicht könntest du einen Satz dazu schreiben, ich stehe auf der Leitung. Also der Im Teil ist weg ist nur noch realis Teil ist da aber ist beim |z|² nicht noch Im enthaltenen?

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hallo

|z| ist eine reelle Zahl ! das musst du eigentlich wissen!

lul

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Ja ich sollte wohl so spät nicht mehr Aufgaben machen

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Zur Aufgabe 1. Wenn ich dann:

=C* (x²+ax+b)....fr(x)

Das in den klammern ist ja schon notiert

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der Kommentar ist für mich unverständlich-

lul

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Nachdem ich Aufgabe 1 jetzt auch verstanden habe, wende ich mich Aufgabe 2 zu. Da es um Polynome 2 ≥ geht dachte ich, dass es sich ja nur um f=x ²+ax+b und kleiner geht. Ich aber nicht verstehe, wie ich ich das gewünschte Beweise.

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Hoffe es ist jetzt verständlicher

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Hallo

wie ich schon sagte, bei so was fängt man mal an r=1 ist trivial, dann nimm r=2 wie muss dann f1,f2 aussehen?usw

Gruß lul

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Um ehrlich zu sein ich weiß es nicht, wie sieht es denn aus

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? Was genau willst du wissen?

lul

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c  ist der Leitkoeffizient  Der hat die Eigenschaft, dass es ein ˜f gibt, sodass f = c*˜f gibt.
Da C algebraisch abgeschlossen ist, gibt es immer Nullstellen von Polynomen in C[T]. Für reele Nullstellen gibt lassen sich Linearfaktoren also normierte Polynome ersten Grades ausklammern.

Für rein Komplexe Nullstellen z lässt sich Gz ausklammern, was ein normiertes Polynom 2. Grades ist. Man kann
nun sukzessive linearfaktoren oder polynome 2. Grades ausklammern, bis der Grad ≤ 2 werden.

ist das jetzt so richtig verstanden?