Komplexe Zahlen und Gleichmäßige Stetigkeit

Question

Aufgabe:

1) f:R->R stetig. Lim_(x->-unendlich) f(x)= 0=lim_(x->unendlich) f(x). Also f nimmt Maximum und Minimum an. Ich weiß wie man das beweisen kann. Aber kann mir jemand erklären wie man die gleichmäßige Stetigkeit dieser Fkt. beweist?

2) Sei (zn)n∈N eine Folge in C, zn = xn + iyn mit xn, yn ∈ R. Beweisen Sie, dass (zn)n∈N
genau dann eine Cauchy-Folge ist, wenn (xn)n∈N und (yn)n∈N Cauchy-Folgen in R sind. Könnte mir jemand auch dafür ein Beweis zeigen? Habe es in etwa versucht aber will mir dabei sicher sein.

Lerne grad für ne Klausur deshalb brauch ich gute Erklärungen/Beweise wären noch besser. Vielen Dank im Voraus

Comments

Hallo

sage was du gemacht hast, warum sollen wir aufschreiben was du vielleicht schon hast?

lul

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Ich habe nur den Beweis von Max. und Min. aufgeschrieben die anderen 2 Beweise habe ich nicht.Also brauche ich den Beweis für die gleichm. Stetigk. u. komplexe Folgen.

Answer 1

Der Beweis für die gleichmäßige Stetigkeit geht ähnlich wie der Beweis von Max und Min: Wähle eine a>0, so dass

$$\forall |x| \geq a: \quad |f(x)|<\epsilon$$

Dann gilt zum Beispiel für \(x,y \geq a\), dass \(|f(x)-f(y) <2 \epsilon\) ist.

Für das kompakte Intervall \([-a,a]\) folgt aus der Stetigkeit die gleichmäßige Stetigkeit.

Dann brauchst Du nur noch überlegen, wie im Fall \(x<a<y\) abgeschätzt werden kann...