Hallo,
Das Problem ist, wie soll ich die Normale berechnen, wenn der Anstieg der Tangente 0 ist?
Die Steigung der Normalen wäre in diesem Fall unendlich und damit kannst Du die Normale nicht mehr als lineare Funktion angeben.
Eine Alternative bestände darin, die Normale in ihrer Koordinatenform darzustellen. Die Normale steht senkrecht auf dem Vektor (Habt Ihr schon Vektoren?) $$\vec{r} = \begin{pmatrix} 1\\f'(x) \end{pmatrix}$$und geht durch den Punkt $$X= \begin{pmatrix} x_0\\f(x_0) \end{pmatrix}$$und somit ist ihre Koordinaten Form$$\begin{aligned}\vec{x} \vec{r} &= X\vec{r} \\ x \cdot 1 + y \cdot f'(x) &= 1\cdot x_0 + f(x_0) \cdot f'(x_0) \\ x + yf'(x_0) &= x_0 + f(x_0)f'(x_0)\end{aligned}$$Du siehst, dass im Fall von \(f'(x_0)=0\) der Term mit \(y\) zu \(0\) wird und damit entfällt. Also für \(f'(x_0)=0\) steht dann dort schlicht$$x=x_0$$ und dies ist die Koordinatenform der Normalen für \(f'(x_0) = 0\).
Noch ein Bild zur Demonstration:
https://www.desmos.com/calculator/v3t9pu7olf
Die Funktion \(f(x)\) ist rot und eine ihrer Normalen ist lila dargestellt. Verschiebe den Punkt mit der Maus auf die Position \(x_0 = 2\), dann steht die Normale senkrecht.
Alternativ - falls Dir das mit den Vektoren zu neu ist - kannst Du es auch wie folgt machen. Die Steigung \(m_n\) der Normalen ist ja $$m_n = -\frac{1}{f'(x_0)}$$nach der Punkt-Steigungsform wäre die Normale \(n\) dann$$n: \quad y = \underbrace{-\frac{1}{f'(x_0}}_{=m_n} (x-x_0) + f(x_0)$$Multipliziere die Gleichung nun mit \(f'(x_0)\) und bringe das \(x\) auf die linke Seite:$$\begin{aligned} y&= -\frac{1}{f'(x_0)} (x-x_0) + f(x_0) &&|\,\cdot f'(x_0) \\ yf'(x_0) &= -x + x_0 + f(x_0)f'(x_0) &&|\, +x \\x + yf'(x_0) &= x_0 + f(x_0)f'(x_0)\end{aligned}$$und schon hast Du obige Koordinatenform wieder und die 'funktioniert' auch dann, wenn \(f'(x_0)=0\) ist.
