Differenzierbarkeit, Stetigkeit, Grenzwert

Question

Text erkannt:

Es sei \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion und \( x_{0} \in D \). Beweisen Sie folgende Aussagen.
a) \( f \) ist genau dann stetig in \( x_{0} \), wenn gilt:
\( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}, x<x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}, x>x_{0}} f(x) \)
Dabei wird im linken Grenzwert die Funktion \( f \) auf dem eingeschränkten Definitionsbereich \( D \cap\left(-\infty, x_{0}\right) \) und im rechten auf \( D \cap\left(x_{0}, \infty\right) \) betrachtet.
b) \( f \) ist genau dann differenzierbar in \( x_{0} \), wenn gilt:
\( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}, x<x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}, x>x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \)
Wie in Teil a) wird dabei \( f \) auf \( D \cap\left(-\infty, x_{0}\right) \) bzw. \( D \cap\left(x_{0}, \infty\right) \) betrachtet.

Problem/Ansatz: Kann mir jemand den Beweis dafür geben? Lerne für die Klausur. Danke im Voraus

Answer 1

a)  f stetig in x_o <=> \( \forall_{ \epsilon>0 }  \exists_{ \delta>0 } |x-x_o| \lt \delta =>   |f(x)-f(x_o)| \lt \epsilon \)  #

Sei also ε>0 . Wegen \( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}, x<x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)\)

gibt es ein δ1 mit  \( 0 \lt x_o-x \lt \delta_1 =>  |f(x)-f(x_o)| \lt \epsilon \)

Entsprechend mit \( f\left(x_{0}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}, x>x_{0}} f(x) \)

gibt es ein δ2 mit \( 0 \lt x-x_0 \lt \delta_2 =>  |f(x)-f(x_o)| \lt \epsilon \)

Mit δ=min(δ1,δ2) folgt also #.

Andere Richtung entsprechend.