Finden Sie eine Approximation (Annäherung) für die Wahrscheinlichkeit, dass...

Question

Hier könnte ich Hilfe gebrauchen:

Eine Zufallsvariable X beschreibe die Menge an Benzin (in
Litern), die von einem rein zufällig gewählten Kunden an einer Tankstelle
gekauft wird. Seien der Erwartungswert und die Standardabweichung von X
43,5 Liter beziehungsweise 15 Liter.

Sei eine Stichprobe von 50 rein zufälligen Kunden gewählt.

Finden Sie eine Approximation (Annäherung) für die Wahrscheinlichkeit, dass...

- die Kunden im Durchschnitt mindestens eine Menge von 45 Litern Benzin kaufen.

- die von diesen Kunden gekaufte Gesamtmenge an Benzin höchstens 2300 Liter
beträgt

Dankeschön für eure Hilfe.

Answer 1

Klarer Fall von Zentralem Grenzwertsatz.

\(X_i\sim X: \; \mu = 43.5, \sigma=15\) mit \(i=1,\ldots , 50\)

Durchschnitt:

\(D =\frac 1{50}\sum_{i=1}^{50}X_i \stackrel{\approx}{\sim}N(\mu, \frac{\sigma^2}{50})\)

\(\Rightarrow P(D\geq 45) \approx 24\% \). Berechnung hier.

Summe:

\(S =\sum_{i=1}^{50}X_i \stackrel{\approx}{\sim}N(50\mu, 50\sigma^2)\)

\(\Rightarrow P(S\leq 2300) \approx 88\% \). Berechnung hier.