Wie würde ein solches Polynom aussehen?

Question

Wir betrachten ein Polynom n-ten Grades mit kritischen Punkten −1, 1, 2, 3, 4. Die
entsprechenden Werte seien 6, 1, 2, 4, 3 und der Koeffizient bei x^n = 1.

Problem: Hab einfach mal drauf los gezeichnet und vermute als Grenzwerte plus unendlich. Bin allerdings unsicher ob korrekt. Grundsätzlich hab ich Probleme mir konkret vorzustellen, wie das aussehen würde. Kann bitte jemand die Graphen für die Fälle n gerade und n ungerade plotten oder ganz grob skizzieren? Damit wäre mir echt wahnsinnig geholfen.

Comments

Was soll mit "kritischen Punkten" gemeint sein ??

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Bezeichnen wir das Polynom einfach mal als "f", dann gilt f: P -> R ist differenzierbar, p Element von P mit f ′(p) = 0 und damit sollte dann p ein kritischer Punkt von f sein. Hoffe das kommt hin. Ich bin hier ehrlichgesagt selbst das erste Mal auf den Begriff gestoßen.

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Weiß wirklich niemand wie es umzusetzen ist? :/

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Gegenfrage: Kannst du nicht einfach nach dazuschreiben, was bei dieser Aufgabe eigentlich gesucht ist?

Geht es vielleicht darum, ein Polynom mindestens 10. Grades mit den genannten Eigenschaften zu finden?

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Hey sorry, mein Eingangspost ist missverständlich. Gesucht ist ursprünglich der Graph des Polynoms. Ich habe oben nach "Graphen" gefragt, da ich sicher bin, dass es jeweils einen für n gerade und n ungerade geben müsste. Weiter weiß ich leider auch nicht.

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Das macht es nicht besser. Wie lautet die Originalaufgabe?

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Hier im Original Wortlaut: "Sei p ein Polynom n-ten Grades mit kritischen Punkten −1, 1, 2, 3, 4. Die
entsprechenden Werte seien 6, 1, 2, 4, 3 und der Koeffizient bei x^n = 1. Skizziere den Graph von p."

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vermute als Grenzwerte plus unendlich

Das ist wegen des positiven Leitkoeffizienten  Koeffizient bei x_n = 1 richtig, falls du den Grenzwert für x→∞ meinst.

Du hast außerdem Recht, dass   für die Fälle n gerade und n ungerade unterschiedliche Graphen entstehen, nämlich für gerades n der Grenzwert ∞ für x→-∞ , also so etwas :

und für ungerades n der Grenzwert -∞ für x→-∞ , also so etwas :

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Jetzt macht es Sinn. Aufgabenstellung war etwas seltsam und ich hatte einen der Grenzwerte falsch bestimmt. Danke für die Plots sowie schlüssige Erklärung

Answer 1

Normalerweise wechseln sich Hoch- und Tiefpunkte im Verlauf des Graphen ab.

Die genannten kritischen Punkte können aber nicht alle Hoch- und Tiefpunkte sein, weil die Funktionswerte abwechselnd kleiner und größer werden würden.

In der Folge der Funktionswerte ist das aber nicht immer der Fall.

Deshalb ist z.B. folgendes möglich:

Hochpunkt (-1|6)

Tiefpunkt (1|1)

Sattelpunkt (2|2)

Hochpunkt (3|4)

Tiefpunkt (4|3)

Das kannst du ohne Kenntnis der Funktionsgleichung skizzieren.

Answer 2

Was hälst du von

f'(-1)=0
f'(1)=0
f'(2)=0
f'(3)=0
f'(4)=0

sowie

f(-1)=6
f(1)=1
f(2)=2
f(3)=4
f(4)=3

Mit den 10 Bedingungen würde man ein Polynom 9. Grades bekommen

f(x) = -14947/216000·x^9 + 78721/72000·x^8 - 9583/1440·x^7 + 14813/800·x^6 - 1244977/72000·x^5 - 549229/24000·x^4 + 1514/27·x^3 - 50951/3600·x^2 - 25919/750·x + 2616/125

Damit der Leitkoeffizient 1 ist bräuchte man jetzt noch eine 11 Bedingung und ein Polynom 10. Grades

Die Bedingung ist dann

f''''''''''(0) = 10!

Damit wäre das Polynom dann

f(x) = x^10 - 3902947/216000·x^9 + 9510721/72000·x^8 - 700783/1440·x^7 + 689213/800·x^6 - 18092977/72000·x^5 - 36717229/24000·x^4 + 54974/27·x^3 - 209351/3600·x^2 - 961919/750·x + 74616/125

Comments

Danke zunächst für die ausführliche Antwort! Ich fürchte das sprengt den Rahmen, da kein konkretes Polynom mit exakter Zeichnung gefordert wird. Die Aufgabenstellung ist etwas unglücklich.