Integrationsrechnung: Grenzen bestimmen?

Question

Aufgabe:

Ich bin verwirrt, was die Grenzen bzw. was, die Neuen Grenzen angeht, ist die Obergrenze die größte negative oder positive Zahl? Gibt es einen Unterschied, wenn man Flächen rechnet oder einfach nur das bestimmte Integral bestimmt?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Beispiele:

Grenzen bei \(x=-1 \)   und bei \(x=2  \)     untere Grenze ist bei -1   obere Grenze ist bei 2   weil \(2>-1\)

Grenzen bei \(x=-3 \)  und bei \(x=-4  \)     untere Grenze ist bei -4  obere Grenze ist bei -3  weil \(-3>-4\)

Du setzt beim Ausrechnen zuerst die obere Grenze und dann die untere Grenze ein.

\( \int\limits_{-1}^{2}5*dx=[5*x]= [5*2]-[5*(-1)]=15\)

\( \int\limits_{-4}^{-3}5*dx=[5*x]= [5*(-3)]-[5*(-4)]=5\)

Comments

Danke für deine stets guten und ausführlichen Erklärungen.

Answer 2

Angenommen \(f(x)\) gibt die Änderungsrate der Temperatur in Abhängigkeit von der Entfernung \(x\) zum Erdmittelpunkt an.

Angenommen du hast eine Entfernung \(a\) zum Erdmittelpunkt und bewegst dich zu einem Punkt mit Entfernung \(b\) zum Erdmittelpunkt. Die Temperaturänderung ist dann

        \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\).

Dabei ist es unerheblich, ob \(a\) kleiner als \(b\) ist (du entfernst dich vom Erdmittelpunkt) oder nicht (du bewegst dich auf den Erdmittelpunkt zu). \(a\) ist die untere Integralgrenze, weil das der Ausgangspunkt deiner Bewegung ist. \(b\) ist die obere Integralgrenze, weil dort das Ende deiner Bewegung ist.

Die Tatsache, dass die untere Integralgrenze meistens kleiner als die obere Integralgrenze ist, kommt wohl daher, dass \(x\) oft nicht ein Ort, sondern eine Zeit ist. Und wir haben noch kein wirklich brauchbares Verfahren gefunden, uns rückwärts durch die Zeit zu bewegen.

Answer 3

Eigentlich ist es egal, wie herum man die Grenzen einsetzt.

Es ändert sich nur das Vorzeichen des Ergebnisses.

Für Flächen nimmt man i.d.R. den Betrag.