Wie lässt sich aus diesen Angaben zeigen, dass die Funktion konstant ist?

Question

Aufgabe:

f:[0,1]→ℝ zweifach stetig differenzierbar

f(0)=f(1)=0 und f''(x)+f'(x)-f(x)=0 für x ∈ [0,1]

z.z.: ⇒ f(x)=0 für alle x ∈ [0,1]

Comments

Es gibt verschiedene Möglichkeiten. Was ist aktuell Thema bei Euch?

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Mittelwertsatz und Differenzierbarkeit

Answer 1

Dann vielleicht so: Wenn f nicht konstant gleich 0 ist:

Weil f auf [0,1] stetig ist, nimmt es an einer Stelle \(z \in [0,1]\) sein Maximum an. Weil die Funktionswerte an den Rändern gleich 0 sind, ist \(z \in (0,1)\) und \(f(z)>0\). Weil z eine Extremstelle ist, ist \(f'(z)=0\). Aus der Differentialgleichung für f folgt \(F´f''(z)=f(z)>0\). Das bedeutet aber, dass bei z eine Minimum liegt. Widerspruch.

Comments

Zählt dies als Beweis?

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Entscheide selbst. Ist die Argumentation schlüssig? Verstehst Du jeden Schritt?

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Was bedeutet dieser Schritt \(F´f''(z)=f(z)>0\) bzw. Ist dieser korrekt aufgeschrieben?

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Da haben meine Finger gezittert, dann habe ich nicht richtig gelöscht. Also wegen \(f'(z)=0\) erhält man \(f''(z)=f(z)>0\)