Aufgabe:
Natürliche Logarithmus ist gleichmäßig stetig
Problem/Ansatz:
\( \begin{aligned} & \left|f(x)-f\left(x+\frac{\delta}{2}\right)\right| \\ = & \left|\ln (x)-\ln \left(x+\frac{\delta}{2}\right)\right| \\ = & \ln \left(\frac{x}{x+\frac{\delta}{2}}\right) \\ = & \ln \left(\frac{x}{\frac{2 x}{2}+\frac{\delta}{2}}\right) \\ = & \ln \left(\frac{x}{\frac{2 x+\delta}{2}}\right) \\ = & \ln \left(x \cdot \frac{2}{2 x+\delta}\right) \\ = & \ln \left(\frac{2 x}{2 x+\delta}\right) \\ = & \ln \left(\frac{2 x}{2 x \cdot\left(1+\frac{\delta}{2 x}\right)}\right) \\ = & \ln \left(\frac{1}{1+\frac{\delta}{2 x}}\right) . \\ = & \left|\ln (1)-\ln \left(1+\frac{\delta}{2 x}\right)\right| \\ = & \left|-\ln \left(1+\frac{\delta}{2 x}\right)\right| \\ \rightarrow & 0<\varepsilon \\ & Macht das Sinn ?\end{aligned} \)
Das widerspricht doch der Definition von gleichmäßiger Stetigkeit oder? Wo liegt denn hier der Fehler
Danke!
