Aufgabe:
Eine Münze wird mehrmals geworfen.
Wie wahrscheinlich ist es dabei nie, einmal, zweimal, dreimal usw. Kopf zu werfen?
Problem/Ansatz:
Mit welchem Rechenweg kann ich vorgehen um die Aufgabe zu berechnen?
Text erkannt:
13:44 Donnerstag 19. Jan.
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Unbenanntes Notizbuch (1) der Erfolge" als Histogramm zeichnen. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt bei BernoulliKetten Binomialverteilung. Im zweiten Teil der Arbeit geht es darum, solche Histogramme mit dem Computer darzustellen und ihre typische Form und die Veränderungen bei verschiedenen \( p \) - und n-Werten zu beschreiben. Dabei spielt die Standardabweichung eine wichtige Rolle.
Inhalte/Gliederung
Erstellt in einer Gruppe mit 2-3 Mitgliedern ein Epochenheft zur Binomialverteilung, in dem
1. beschrieben wird, unter welchen Voraussetzungen eine Binomialverteilung vorliegt;
2. die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl Treffer bei einer Bernoulli-Kette genau hergeleitet wird;
3. Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Bernoulli-Ketten (Binomialverteilung) grafisch in Histogrammen dargestellt und die Form und Veränderung der Form des Histogramms betrachtet werden. Wichtig ist dabei die Bedeutung von Erwartungswert und Standardabweichung für die Form der Histogramme;
4. Musterlösungen zu einigen Aufgaben gegeben werden;
5. die Arbeit in Zwischenstopps zusammengefasst, verallgemeinert und reflektiert wird.
Detaillierte Aufgaben
1. Zum Einstieg
\( \checkmark \) a) Eine Münze wird mehrmals geworfen.
Wie wahrscheinlich ist es dabei nie, einmal, zweimal, dreimal usw. Kopf zu werfen?
b) Ein Würfel wird mehrmals geworfen.
Wie wahrscheinlich ist es dabei keine, eine, zwei, drei, usw. Einsen zu werfen?
= c) Ein Glücksrad mit Gewinnwahrscheinlichkeit \( p \) wird mehrmals gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Anzahlen von Gewinnen, die man dabei erzielt.
d) Löse die Aufgabe a) für das drei-, vier- und fünfmalige Werfen. Erstelle dazu
Baumdiagramme. Es müssen nicht alle Baumdiagramme aufgezeichnet werden, aber so viele, dass Aufgabe 2 gelöst werden kann.
2. Zur Formel
Viele reale Fragen können auf solche Baumdiagramme mit immer zwei Verzweigungen und immer den gleichen Werten an den Verzweigungen zurückgeführt werden. Die Berechnung lassen sich mit einer Formel mit den unbekannten Parametern \( n \) und \( p \) ausführen.
a) Fasse die Ergebnisse aus Aufgabe 1 in eine solche Formel zusammen und erkläre die Formel im Detail. Kläre dabei, wie die Anzahl der Pfade eines \( n \)-stufigen Baumdiagrammes berechnet werden kann, die zu einem Ergebnis mit \( k \) Treffern führen. Dieser Aspekt soll genau betrachtet werden.
b) Löse einige Aufgaben aus dem Schulbuch mit dieser Formel.
3. Zur Vertiefung
a) Recherchiere (aus dem Schulbuch) die Formeln für Erwartungswert und
Standardabweichung der Binomialverteilung.
b) Zeichne mit Hilfe von GeoGebra verschiedene Histogramme von Binomialverteilungen.
