Zeigen Sie: Ist f konvex auf I , dann gilt für je n Punkte x_{1}, \ldots, x_{n} ∈ I und positive t_{1}, \ldots, …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( I \subset \mathbb{R} \) ein Intervall und \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion. Zeigen Sie: Ist \( f \) konvex auf \( I \), dann gilt für je \( n \) Punkte \( x_{1}, \ldots, x_{n} \in I \) und positive \( t_{1}, \ldots, t_{n} \in \mathbb{R} \) mit \( t_{1}+\cdots+t_{n}=1 \) stets
\( f\left(t_{1} x_{1}+\cdots+t_{n} x_{n}\right) \leq t_{1} f\left(x_{1}\right)+\cdots+t_{n} f\left(x_{n}\right) . \)

Problem/Ansatz:

keine ahnung wie ich es beweisen soll und kann mir jemand die UngleichungGleichung erklären, also ≤

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass der Fall n>=2 gerade Eure Definition von "konvex" ist. Dann geht es mit vollständiger Induktion weiter: Wir schreiben

$$\sum_{i=1}^{n}t_ix_i=(1-t_n)\left( \sum_{i=1}^{n-1}\frac{t_i}{1-t_n}x_i \right) +t_nx_n$$

Wegen \(\sum_{i=1}^{n-1}\frac{t_i}{1-t_n}=1\) liegt der Punkt in der großen Klammer in I und wir können bei der folgenden zweiten Abschätzung die Induktionsvoraussetzung verwenden:

$$f(\sum_{i=1}^{n}t_ix_i)\leq (1-t_n)f\left( \sum_{i=1}^{n-1}\frac{t_i}{1-t_n}x_i \right) +t_nf(x_n) \\ \quad \leq (1-t_n)\left( \sum_{i=1}^{n-1}\frac{t_i}{1-t_n}f(x_i) \right) +t_nf(x_n) =\sum_{i=1}^n f(x_i)$$