Bestimme die Grenzwerte.

Question

Aufgabe:

Bestimme die Grenzwerte.

Text erkannt:

(i) \( \lim \limits_{x \searrow 0} \sin \left(\frac{1}{x}\right) \)
(ii) \( \lim \limits_{x \nearrow 0} \sin \left(\frac{1}{x}\right) \)

Comments

vgl:

https://www.mathelounge.de/332797/sin-1-x-fur-x-gegen-0-grenzwertaufgabe

---

Aber bei dieser Aufgabe kommt es ja von oben an die null und von unten.

Das verstehe ich nicht wie man, dass hier dann zeigen soll.

Answer 1

Aloha :)

Wegen \(\sin(-\varphi)=-\sin(\varphi)\) reicht es aus, nur Teil (i) zu betrachten. Sollte dort der Grenzwert bestimmt werden können, kommt bei (ii) der negative Wert heraus.

Wir betrachten also:$$\lim\limits_{x\searrow0}\sin\left(\frac1x\right)=\lim\limits_{y\to\infty}\sin(y)\stackrel?=\left\{\begin{array}{l}\lim\limits_{n\to\infty}\sin(2n\pi) &=\lim\limits_{n\to\infty}(0)=0\\\lim\limits_{n\to\infty}\sin(2n\pi+\frac\pi2)&=\lim\limits_{n\to\infty}(1)=1\end{array}\right.$$

Wenn der Grenzwert \(\lim\limits_{y\to\infty}\sin(y)\) existieren würde, müssten uns alle beliebigen Wege zum selben Grenzwert führen. Hier führen aber die Wege \((x_n=2n\pi)\) und \((x'_n=2n\pi+\frac\pi2)\) zu unterschiedlichen Werten.

Daher konvergiert \(\sin\left(\frac1x\right)\) nicht für \(x\to0\).

Answer 2

Es oszilliert aus beiden Richtungen zwischen -1 und 1.