Im weiteren bezeichnet \(a+ib\) eine komplexe Zahl mit \(a,b\in\mathbb R\).
Nenner:
Anwenden von \((a+ib)(a-ib) = a^2+b^2\):
$$(1+in\pi)(1-in\pi) = 1+n^2\pi^2$$
Zähler:
Die Zähler brauchen nur addiert werden, da die Brüche gleichnamig sind und Anwenden von
\((a+ib) + (a-ib) = 2a\)
Für bessere Lesbarkeit schreibe ich
$$p = 1-e^{-1}(-1)^n$$
Dann gilt für die Zähler
$$p(1+in\pi) - (-p)(1-in\pi)$$$$=p(1+in\pi + 1-in\pi)$$$$ =2p$$
Also
$$2p = 2(1-e^{-1}(-1)^n)=2-2e^{-1}(-1)^n$$