Fourriereihe Term vereinfachen

Question

Aufgabe: Fourriereihe bestimmen Term vereinfachen

Problem/Ansatz: Mir ist nicht klar wie man hier in den Lösungen von der ersten Zeile durch vereinfachen auf den Term der zweiten Zeile kommt.

Text erkannt:

\( =\frac{\left(1-e^{-1}(-1)^{n}\right)(1+i n \pi)}{2(1-i n \pi)(1+i n \pi)}-\frac{\left(e^{-1}(-1)^{n}-1\right)(1-i n \pi)}{2(1+i n \pi)(1-i n \pi)} \)
\( \left.=\frac{2-2 e^{-1}(-1)^{n}}{2\left(1+n^{2} \pi^{2}\right)}\right) \)
\( =\frac{1}{1+n^{2} \pi^{2}}\left(\frac{e-(-1)^{n}}{e}\right), \quad n \in \mathbb{Z} \)

Answer 1

Im weiteren bezeichnet \(a+ib\) eine komplexe Zahl mit \(a,b\in\mathbb R\).

Nenner:

Anwenden von \((a+ib)(a-ib) = a^2+b^2\):

$$(1+in\pi)(1-in\pi) = 1+n^2\pi^2$$

Zähler:

Die Zähler brauchen nur addiert werden, da die Brüche gleichnamig sind und Anwenden von

\((a+ib) + (a-ib) = 2a\)

Für bessere Lesbarkeit schreibe ich

$$p = 1-e^{-1}(-1)^n$$

Dann gilt für die Zähler

$$p(1+in\pi) - (-p)(1-in\pi)$$$$=p(1+in\pi + 1-in\pi)$$$$ =2p$$

Also

$$2p = 2(1-e^{-1}(-1)^n)=2-2e^{-1}(-1)^n$$