Könnte bitte jemand Schnitte und Verzweigungspunkte helfen zu bestimmen
Singularitäten wären bei z=0, exp(iπ/3),exp(iπ), exp(-iπ/3)…
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\( 12.1 \) (10 Punkte) Residuensatz mit erweiterter Kontur
Im Folgenden wollen wir das reelle Integral
\( I=\int \limits_{0}^{\infty} \frac{\ln x}{1+x^{3}} d x \)
mithilfe des Residuensatzes berechnen. Dazu betrachten wir das Integral als geschlossenes Wegintegral in der komplexen Ebene
\( \oint_{\gamma} \frac{\ln z}{1+z^{3}} d z, \)
wobei die Kontur aus vier Teilen \( \gamma=\gamma_{A}+\gamma_{B}+\gamma_{r}+\gamma_{R} \) besteht (siehe Abb. 1). Für \( R \rightarrow \infty \) und \( r \rightarrow 0 \) enspricht das Wegintegral entlang \( \gamma_{A} \) dem Integral \( I \).
Abbildung 1: Integrationsweg zur Aufgabe, mit \( z=x+i y \). Die Kurvenanteile \( \gamma_{R} \) und \( \gamma_{r} \) sind Kreisbögen mit Radien \( R \) und \( r \) mit Mittelpunktswinkel \( \theta=2 \pi / 3 \).
(a) (2 Punkte) Skizzieren Sie auftretende Singularitäten und Verzweigungspunkte in der komplexen Ebene (als Verzweigungspunkte bezeichnet man unter anderem Endpunkte von Schnitten, siehe z.B. Lang und Pucker, Mathematische Methoden in der Physik, 3. Auflage, Kapitel 2.4). Führen Sie gegebenenfalls einen geeigneten Schnitt ein, der die Kontur \( \gamma \) nicht kreuzt.
